设D是一个区域，其边界由有限个逐段光滑简单闭曲线组成，又设f（z）在区域D内解析，在闭区域C上连续.若f（z）在边界上是常数则它在D内也是常熟. 柯西积分公式可以直接得到
分段光滑的简单闭曲线是什么意思？x^2+y^2>0是分段光滑的简单闭曲线么？ 在二维平面上，分段光滑的简单闭曲线就是由一系列首尾相接的光滑曲线段组成的最终形成的封闭环，且中间不得有交叉，也即任意两段曲线除了端点之外，均无另外的交点.比如多边形即是.x^2+y^2>；0表示XOY面上除了原点(0，0)外的所有区域，显然不是分段光滑的简单闭曲线.
柯西积分公式的基本内容是这样叙述的：若函数f（z）在简单正向闭曲线C所围成的区域D内解析，在区域D的边界C上连续，Zo 是区域D内任意一点，则有f（Zo）=1/2πi（∮c f（z）/z-Zo dz）（不会打符号，请见谅。柯西积分公式对于无界区域也成立（图10.9（c））：如果无界区域 D（包含∞在内，D的边界是有限条简单闭曲线C，函数在内除了点∞外是解析的，而在闭域（D+C）上除了点∞外连续，同时当z趋于∞时存在limf（z）=f（∞），则对D内任一点z有f（z）=f（∞）-1/2πi（∮c f（ξ）/ξ-z dξ）（其中C的方向取负方向）[编辑本段]柯西积分公式的推导 柯西积分公式本身就是柯西积分定理最直接、最重要的推论.利用我们所熟知的柯西积分定理，其证明过程是很简洁的.在此不再赘述.[编辑本段]柯西积分公式重要推论与应用 柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理，以下就是重要的几个例子：平均值定理如果函数f（z）在圆│ξ-Zo│内解析，在闭圆│ξ-Zo│≤R 上连续，则f（z）在圆心Zo的值等于它在圆周上的值的算术平均数，也即f（Zo）=1/2π（∫（上限2π、下限0）f（Zo+Rexp（iφ））dφ）证明时，只需将Z=Zo+Rexp（iφ））带入即可.（见右图）此定理对于调和函数的研究、微分方程都。
