高数，光滑曲线弧是可求长的，怎么证明 证明：分析，光滑曲线可求长等价于连续函数必可积令：y=f(x)在[a，b](b>；a)上连续，将闭区间[a，b]分割成n个微小区间，即：x0=a≤x1≤x2≤.≤xn=b，考查每个区间[x(i-1)，x(i)]上f(x)的取值f(x)在[x(i-1)，x(i)]连续根据最值定理必然存在：m(i)，M(i)，使得：m(i)≤f(x)≤M(i)，x∈[x(i-1)，x(i)]再令：Δx(i)=x(i)-x(i-1)，于是：m(i)·Δx(i)≤f(x)Δx(i)≤M(i)·Δx(i)，根据介值定理，至少？ξ(i)∈[x(i-1)，x(i)]，使得在微小区间段中：m(i)·Δx(i)≤f(ξ(i))Δx(i)≤M(i)·Δx(i)再令：M(min)=Σ(i：1→n)m(i)·Δx(i)，M(max)=Σ(i：1→n)M(i)·Δx(i)显然：M(max)-M(min)≥0另一个方面：M(max)-M(min)Σ(i：1→n)[M(i)-m(i)]·Δx(i)根据康托定理，连续函数y=f(x)在[a，b]上必然是一致连续的，因此，根据介值定理，下述成立：？ε>；0，且令：ε=max{M(i)-m(i)}，则：？ζ>；0，使得：|x(i)-x(i-1)|<；ζ时，M(i)-m(i)<；ε因此：Δx=max{Δx(i)}lim(Δx→0)[M(max)-M(min)]=0即：当Δx→0时，M(max)和M(min)有相同的收敛值又∵M(min)≤Σ(i：1→n)f[ξ(i)]Δx(i)≤M(max)上式取Δx→0，即n→的极限，则：lim(n→)M(min)≤lim(n→)Σ(i：1→n)f[ξ(i)]。
设L是xoy平面上的一条光滑曲线弧，函数f（x，y）在L上有界．用L上的点M1，M2，…Mn-1把L分成n个小段．设 L上的点M1，M2，…Mn-1把L分成n个小段，取其中一小段Mi？1Mi来分析．只要这一小段很短，就可以用这小段上任一点（ζi，ηi）的函数值来代替这一段其它点处的函数值从而得到这一小段构件的质量的近似值为f（ξi，ηi）△Si，其中△Si为第i个小段的长度于是，整个曲线形构件的质量为ni＝1f（ξi，ηi）△Si，用λ表示这n个弧段的最大长度，为了计算曲线形构件质量的精确值，取上式右端之和当λ→0时的极限，从而得到limλ→0nλ＝1f（ξi，ηi）△Si=∫Lf（x，y）ds故选：C．
曲线积分的定义里面：二元函数f(x，y)在L上有界是什么意思？(L假定是xOy面上的一条光滑曲线弧) 在曲线积分中，二元函数f(x，y)是定义在L上的.
