设y=f(x)和y=g(x)是二阶可导的函数，且在x0 y0处相切 又在此点附近两曲线向上凹，曲线y=f(x)的曲率比y=g(x) f在上 曲率大则曲率半径小，两曲率圆切于(x0，y0)，再由凸性可知
位于上半平面向上凹的曲线y=y（x）在点（0，1）处的切线斜率为0，在点（2，2）处的切线斜率为1．已知曲线上任一点处的曲率半径与 因为y=y（x）是位于上半平面向上凹的曲线，所以y≥0，y″＞0，从而，其在点（x，y（x））处的曲率半径为：R＝(1+(y′)2)32|y″|=(1+(y′)2)32y″．利用已知条件可得，(1+(y′)2)32y″=ky(1+(y′)2)，其中k＞0为一个.
设y=y（x）是一向上凸的连续曲线，其上任意一点（x，y）处的曲率为 因曲线向上凸，故y’’，依题意有？y″(1+y′2)即：y''=-（1+y'2）曲线经过点（0，1），故y（0）=1，又因为该点处的切线方程为y=x+1，即切线斜率为1所以y’（0）=1，问题转化为求一下方程特解y″＝？(1+y′2)y(0)＝1，y′(0)＝1令y'=p，y''=p'p'=-（1+p2）分离变量解得：arctanp=C1-x以p（0）=1代入，得到C1＝arctan1＝π4所以y’＝p＝tan(π4？x)再积分，得y＝∫tan(π4？x)dx＝ln|cos(π4？x)|+C2把y（0）=1代入C2＝1+12ln2故所求曲线方程为y＝ln|cos(π4？x)|+1+12ln2，x∈(？π4，3π4)取其含有x=0在内连续的一支为y＝lncos(π4？x)+1+12ln2当x→(？π4)+或x→(3π4)？时，cos(π4？x)→0，y→？∞故此函数无极小值当x＝π4时，y为极大值此时y＝1+12ln2
