如图，点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数 y=kx的图象上．（1）过点B作BC⊥x轴于C，请问：在反比例函数的图像上，A与B点之间，是否存在一点P，使得△OAB的面积等于△POC的面积？如果存在，请求直线OP的解析式.(2)过点A作AM⊥y轴于M、过点B作BN⊥x轴于N，连结MN，当点A与点B在反比例函数的图像上运动时（点A与B不重合)，MN与AB的位置关系如何？请证明你的结论
如图，反比例函数 （1）∵A（3m，m），OA=2 10，(3m)2+m 2=(2 10)2，且m＞0．解得m=2．A的坐标为（6，2）．又∵点A在 y=k x 的图象上，k=6×2=12．反比例函数解析式为 y=12 x．点B（n，n+1）（其中n＞0）在 y=12 x 的图象上，n（n+1）=12．解得n 1=3，n 2=-4（不合题意，舍去）．点的坐标为B（3，4）；（2）设M点坐标为（a，0），N点坐标为（0，b），如图．分两种情况：①当M点和A点相邻时．M 1 ABN 1 是平行四边形，M 1 B与AN 1 互相平分，即M 1 B的中点与AN 1 的中点重合，a+3 2=0+6 2，0+4 2=b+2 2，a=3，b=2，M 1（3，0），N 1（0，2）；②当M和B点相邻时．N 2 ABM 2 是平行四边形，M 2 A与BN 2 互相平分，即M 2 A的中点与BN 2 的中点重合，a+6 2=0+3 2，b+4 2=0+2 2，a=-3，b=-2，M 2（3，0），N 2（0，-2）．综上可知，符合条件的M、N点的坐标分别为M 1（3，0），N 1（0，2）或M 2（-3，0），N 2（0，-2）．
如图，反比例函数 （1）∵A的横坐标为2，OC=2，又∵Rt△AOC的面积等于4，12OC？AC=4，可得AC=4，A（2，4），将A的坐标代入y=kx中，得k=8，则k的值为8；（2）由函数图象可得：当0或x＞4时，直线AB的函数值小于反比例函数的值；（3）过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D，如图所示：由B的横坐标为4，将x=4代入反比例解析式得：y=2，B（4，2），OD=4，BD=2，又∵OC=2，AC=4，CD=OD-OC=4-2=2，S△BOD=S△AOC=|k|2=4，S△AOB=S△AOC+S梯形ACDB-S△BOD=S梯形ACDB=(BD+AC)？CD2=2(2+4)2=6；（4）在x轴的正半轴上存在点P，使得△POA为等腰三角形，分三种情况考虑：当AO=AP1时，△P1OA为等腰三角形，A（2，4），OC=2，又∵AC⊥x轴，C为OP1的中点，OP1=4，此时P1的坐标为（4，0）；当OA=OP2时，△P2OA为等腰三角形，A（2，4），OA=25，此时P2的坐标为（25，0）；当AP3=OP3时，△P3OA为等腰三角形，此时P3为OA垂直平分线与x轴的交点，取OA的中点为M，作MN⊥x轴，O（0，0），A（2，4），M（1，2），MN=2，ON=1，OMN+∠NMP3=90°，∠MON+∠OMN=90°，NMP3=∠MON，又∠MNO=∠MNP3=90°，MON∽△P3MN，MN2=ON？NP3，即4=1？NP3，可得NP3=4，则OP3=ON+NP3=1+4=5，此时P3的坐标为（5。
