如图所示，正三棱柱ABC-A （Ⅰ）证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C．又∵PD？平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．（4分）（Ⅱ）解法一：由正三棱柱ABC-A1B1C1中D是AC的中点，知BD⊥AC，又∵平面AA1C1C⊥平.
如图所示，在正三棱柱ABC-A （I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形A1B1∥AB又∵A1B1？平面ABD，AB？平面ABD，A1B1∥平面ABD；（II）取AB中点F，连接EF、CF三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，侧面AA1B1B是矩形E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，AA1⊥平面ABC，AB？平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥ABEF∩CF=F，∴AB⊥平面CEFCE？平面CEF，∴AB⊥CE；（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=34×22×2=23又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高三棱锥E-ABC的体积VE-ABC=13VABC-A1B1C1=233因此三棱锥C-ABE的体积VC-ABE=VE-ABC=233．
如图所示，正三棱柱ABC-A （1）证明：连接AB1交A1B于点0，连接OD．O、D分别为中点，OD是△ACB1的中位线，OD∥CB1又OD？平面A1BD，CB1？平面A1BD，B1C∥平面A1BD．（2）∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点．S△ABD＝12？1？3＝32，VA1？ABD＝13？S△ABD？AA1=13？32？3＝12．
