如右图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为 ，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（ ） C连结AC、BD交于点O，连结OE，易得OE∥PA.∴所求角为∠BEO.由所给条件易得OB＝，OE＝PA＝，BE＝，∴cos∠OEB＝，OEB＝60°，选C
已知正四棱锥P-ABCD的高为4 设底面边长为a．在直角三角形POB中，BO=POcot∠PBO=43×cot60°=4=22a，∴a=42OE=a2＝22．斜高PE=PO2+OE2=214．正四棱锥的侧面积等于12×c×PE=12×162×214=327．故答案为：327．
已知正四棱锥P-ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM：MA=BN：ND=5：8． （1）证明：∵P-ABCD是正四棱锥，ABCD是正方形．连接AN并延长交BC于点E，连接PE．AD∥BC，∴EN：AN=BN：ND．又∵BN：ND=PM：MA，EN：AN=PM：MA．MN∥PE．又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC．（2）由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角．设点P在底面ABCD上的射影为O，连接OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角．由正棱锥的性质知PO=PB2？OB2=1322．由（1）知，BE：AD=BN：ND=5：8，BE=658．在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=658，根据余弦定理，得PE=918．在Rt△POE中，PO=1322，PE=918，sin∠PEO=POPE=427．故MN与平面ABCD所成的角为arcsin427．
