已知正三棱柱ABC-A 正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，三棱锥B1-ABC1的体积等于A-B1BC1的体积，也等于A1-BB1C1的体积，取B1C1的中点D，则由正三棱柱的性质可知，A1D⊥面BB1C1，A1D＝32，三棱锥B1-ABC1的体积V=13×12×1×1×32＝312，故答案为：312．
已知正三棱柱ABC—A 剖析：本题的结论是“开放性”的 点D位置的确定如果仅凭已知条件推理难以得出.由于AB1与BC1这两条面对角线是相邻两侧面上的异面直线 于是可考虑将BC1沿BA平行移动 BC1取AE1位置 则平面AB1E1一定平行于BC1 问题可以解决.(1)解：如图 将正三棱柱ABC—A1B1C1补成一直平行六面体ABCE—A1B1C1E1 由AE1∥BC1 AE1平面AB1E1 知BC1∥平面AB1E1 故平面AB1E1应为所求平面 此时平面AB1E1交A1C1于点D 由平行四边形对角线互相平行性质知 D为A1C1的中点.(2)证明：连结AD 从直平行六面体定义知AA1⊥底面A1B1C1D1 且从A1B1C1E1是菱形知 B1E1⊥A1C1 据三垂线定理知 B1E1⊥AD.又AD∩A1C1=D 所以B1E1⊥平面AA1D.又B1E1平面AB1D 所以平面AB1D⊥平面AA1D.(3)解：因为平面AB1D∩平面AA1D=AD 所以过A1作A1H⊥AD于点H.作HF⊥AB1于点F 连结A1F 从三垂线定理知A1F⊥AB1.故∠A1FH是二面角A1AB1D的平面角.设侧棱AA1=1 侧棱AB=.于是AB1=.在Rt△AB1A1中 A1F=在Rt△AA1D中 AA1=1 A1D=A1C1=AD=.则A1H=.在Rt△A1FH中 sin∠A1FH=所以∠A1FH=45°.因此可知平面AB1D与平面AB1A1所成角为45°或135°.讲评：本题主要考查棱柱的性质 以及面面关系、二面角的计算 同时考查空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.
如图，已知正三棱柱ABC-A （1）∵正方形BB1C1C中，D为CC1中点，E为BC的中点Rt△BB1E≌Rt△CBD，可得∠CBD=∠BB1E=90°-∠BEB1因此∠BEB1+∠CBD=90°，可得B1E⊥BD平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，正三角形ABC中，AE⊥BCAE⊥平面BB1C1C，结合BD？平面BB1C1C，得AE⊥BDAE、B1E是平面AB1E内的相交直线，∴BD⊥平面AB1E；（2）∵AE⊥平面BB1C1C，BE是AB1在平面BB1C1C内的射影，可得∠AB1E是直线AB1与平面BB1C1C所成角正△ABC中，AE=32AB=3，正方形AA1B1B中，对角线AB1=2AB=22Rt△AB1E中，sin∠AB1E=AEAB1=64即直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值等于64；（3）由前面的计算，可得S△BCD=14S BB1 作业帮用户 2017-10-11 举报
