如图，四棱台ABCD-A （Ⅰ）由俯视图可知，侧面AA1D1D在底面的射影是一条线段，所以平面AA1D1D与平面ABCD垂直．（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A1A=D1D=A1D1=1，M、N分别为A1D1、AD的中点．所以NB⊥AD，则NB⊥BC，由（Ⅰ）可知平面AA1D1D⊥平面ABCD，所以N1N⊥平面ABCD，BC？平面ABCD垂直，所以BC⊥N1N，又N1N∩NB=N，所以BC⊥平面MNBB1（Ⅲ）过A1作A1O⊥平面ABCD于O，过O作OP⊥AB于P，连结A1P，由三垂线定理可知，∠A1PO为二面角A1-AB-D的平面角，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A1A=D1D=A1D1=1，M、N分别为A1D1、AD的中点．所以AO=12，OP=34，所以所求二面角的正切值为：1234=233．
（2014？湛江二模）如图，在四棱台ABCD-A （1）证明：∵AB=2AD，∠BAD=60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD？ABcos60°=3AD2，AD2+BD2=AB2，AD⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且BD？平面ABCD．DD1⊥BD，又AD∩DD1=D，BD⊥平面ADD1A1．（2）证明：连接AC，A1C1，设AC∩BD=E，连接EA1，四边形ABCD是平行四边形，EC=12AC，由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1∥EC，且A1C1=EC，四边形A1ECC1是平行四边形，因此CC1∥EA1，又∵EA1？平面A1BD，CC1∥平面A1BD，
如图，正四棱台ABCD-A 正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，上底面、下底面的面积分别是4，16，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，侧面的高为4-(4-22)2=3，侧面的面积为12×(2+4)×3=33．四棱台的表面积为4+16+33×4=20+123．
