如图，在正三棱柱ABC-A 证明：（I）在正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，A 1 C 1∥AC又∵A 1 C 1 ？平面AB 1 C，AC？平面AB 1 C；A 1 C 1∥平面AB 1 C；（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形AD⊥BC，又∵正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中，底面ABC⊥侧面BC 1，AD⊥侧面BC 1，又∵B 1 D？侧面BC 1，AD⊥B 1 D即：△AB 1 D为直角三角形；（Ⅲ）设棱BB 1 的长为X则正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中所有棱长全为X则 S△B 1 CD=1 4 X 2，AD=3 2 X则三棱锥B 1-ACD的体积V=1 3？S△B 1 CD？AD=3 24 X 3=3 3，解得X=2即棱BB 1 的长为2
如图，在正三棱柱ABC-A 证明：（1）如图所示：理解对角线BC1、CB1交于点M，连接MD．∵侧面BB1C1C是正方形，∴BM=MC1．又BD=DA，∴DM∥AC1．又∵AC1？平面CDB1，DM？平面CDB1．∴AC1∥平面CDB1．（2）由（1）可知：DM∥AC1，∴DMB1或其补.
如图，在正三棱柱ABC-A 因为AD=BE，AD∥BE，所以ABED是平行四边形，所以DE∥AB∥A1B1，因为F、G分别是B1C1、A1C1的中点，所以FG∥A1B1，从而DE∥FG，所以四边形DEFG是梯形，分别取DE、A1B1、FG的中点M、N、R，易得△MNR是直角三角形，且MN⊥NR，由已知可得MN=2，NR=32，所以MR=22+(32)2=192．故选：D．
