已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，E，F分别是PB，PC上的点，求△AEF的周长最小值． 沿三棱锥P-ABC的侧棱PA剪开后再展开，如图，原图中△AEF的周长最小，也就是展开图中的AA′，在△PAB中，因为PA=PB=8，AB=4，设∠APB=α，则cosα＝PA2+PB2？AB22PA？PB＝82+82？422×8×8=78．APA′=3α，由cos3α=4cos3α-3cosα=4×(78)3？3×78=7128．在△APA′中，由余弦定理得：AA′2=PA2+PA′2-2PA？PA′cos3α82+82？2×8×8×7128121．所以，AA′=11．所以，△AEF的周长最小值为11．
已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6，侧棱长为 （1）作PO⊥底面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接CO并延长交AB于D，连PD，则∠PDC为侧面与底面所成二面角的平面角．∵AB=6，∴DO＝3，PD＝PB2？BD2＝2∴PDO=30°-4′作MN⊥底面于N，作NQ⊥AB于Q，连MQ，则∠MQN为侧面与底面所成二面角的平面角，∴MQN=30°．于是，MQ=2MN，有题意PMMN＝22：1，∴PMMQ＝2：1即M到顶点P的距离与它到边AB的距离之比为2：1-8′（2）设M点的坐标为（x，y），由|PM|MQ|＝2，P（0，2）得：作业帮用户 2017-11-04 问题解析（1）作PO⊥底面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接CO并延长交AB于D，连PD，则∠PDC为侧面与底面所成二面角的平面角，作MN⊥底面于N，作NQ⊥AB于Q，连MQ，则∠MQN为侧面与底面所成二面角的平面角，从而MQ=2MN，即可求出M到顶点P的距离与它到边AB的距离之比．（2）设M点的坐标为（x，y），根据x2+(y？2)2|PM|MQ|＝2建立等式关系，求出点M的轨迹，然后求出x和y的范围，从而求出所求．
如图，已知正三棱锥P-ABC的侧棱长为 沿着棱PA把三棱锥展开成平面图形，所求的折线长度的最小值就是线段AQ的长度，令∠PAB=θ，则 θ=60°，在展开图中，AQ=322，故答案为 322．
