研究抛物型方程的差分格式的稳定性

将求出的差分公式代入到基本控制方程中即可得到差分方程。对同一微分方程和定解条件可以建立多种不同形式的差分方程，而要构造同一差分方程也同样存在着不同的途径。一个差分方程最终能否在实际中得到使用，要根据差分方程的解能否任意地逼近微分方程的解来决定，同时还要考虑方程的收敛型和稳定性。以扩散方程为例，介绍一些主要的差分格式及其截断误差和稳定性分析条件。典型煤矿地下水运动及污染数值模拟:Feflow及Modflow应用在x－t平面上作分别平行于x轴和t轴的两组平行线xi=jh，j=0，±1，±2，±3，…;tn=nτ，n=1，2，3，4，…，通常称h为空间步长，而τ则称之为时间步长，为计算方便取1.截断误差将一次差分公式代入到上式可以得到:典型煤矿地下水运动及污染数值模拟:Feflow及Modflow应用上式为求解扩散方程的显式格式。假设E是上式差分格式的截断误差，则根据截断误差的基本概念可得:典型煤矿地下水运动及污染数值模拟:Feflow及Modflow应用在上式中，括号部分的值为0，其余部分代入下列在节点(j，n)的带余项的Taylor级数展开式:典型煤矿地下水运动及污染数值模拟:Feflow及Modflow应用并注意到u满足方程扩散方程可得:典型煤矿地下水运动及污染数值总结偏微分方程的解法 可分为两大分支:解析解法和数值解法。只有很少一部分偏微分方程能求得解析解，所以实际应用中，多求数值解。数值解法最常见的有三种:差分法(最普遍最通用)、有限体积法、有限元法，其他数值解法还有:正交配置法、微扰法(可解薛定谔方程)、变分法等等。向左转|向右转扩展资料：导数（Derivative）是微积分学中重要的基础概念。对于定义域和值域都是实数域的函数f:R→R，若f(x)在点x 0 的某个邻域△x内，极限定义如下f′(x 0)=△x→0lim△xf(x 0+△x)?f(x 0)(1.1)若极限存在，则称函数f(x)在点x 0 处可导，f′(x 0)称为其导数，或导函数，也可以记为 dxdf(x 0)。在几何上，导数可以看做函数曲线上的切线斜率。给定一个连续函数，计算其导数的过程称为微分（Differentiation）。微分的逆过程为积分（Integration）。函数f(x)的积分可以写为F(x)=∫f(x)dx(1.2)其中F(x)称为f(x)的原函数。若函数f(x)在其定义域包含的某区间内每一个点都可导，那么也可以说函数f(x)在这个区间内可导。如果一个函数f(x)在定义域中的所有点都存在导数，则f(x)为可微函数（Differentiable Function）。可微函数一定连续，但连续函数不一定可微。例如函数∣x∣为连续函数，但在点x=0处不各向异性介质中弹性波方程的有限差分格式及其稳定性条件 杨顶辉（石油大学地球科学系，北京 100083）滕吉文 张中杰（中国科学院地球物理所，北京 100101）摘要 快速有效地模拟地震波在各向异性介质中的传播在现今勘探地震学中具有重要的意义。一种算法的稳定性分析对于加快计算速度非常必要。本文首先利用矩阵和向量来描述波传播方程，针对二维和三维一般各向异性介质中的弹性波方程，提出了一种快速且占用内存少的有限差分方法；然后系统地研究了二维均匀、非均匀各向异性情况下波动方程有限差分格式的稳定性条件；进一步给出了某些特殊各向异性情况下有限差分方法的稳定性具体公式。最后，本文也对三维有限差分格式的稳定性问题进行了研究。关键词 弹性波方程 有限差分 稳定性 各向异性介质1 引言地震波传播的数值模拟在地球科学中具有重要的意义。在各向异性地震模拟的各种方法中，基于Kennett研究工作[11,12]的反射率方法是最流行的数值技术之一。基于走时方程渐近解的射线追踪方法是模拟地震各向异性的另一种有效方法[5,6]。Kosloff等[13]利用Fourier方法模拟了地震各向异性。而Chen[7]则使用有限元方法模拟非均匀各向异性问题。虽然有限差分方法已被广泛应用于各向同性介质中的弹性波模拟，但是利用这种方法来什么是差分计算稳定性？向前差分格式和向后差分格式的计算稳定性分别如何？ 你可以参考一下这里的资料:差分方程的例题 1．实验内容与练习2．1 差分例1 Xn={n3},求各阶差分数列：xn△xn△2xn△3xn△4xn1 7 12 6 08 19 18 6 027 37 24 6 064 61 30 6125 91 36216 127343可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5},分别求各阶差分数列。练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列.{Xn}的通项为n的三次函数，Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0证明它为常数数列。证明 由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。定理8,1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。练习3 证明定理8.1。定理8.2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n的 k次多项式，练习4 根据差分的性质证明定理8。2例2。求∑i3例4解 设Sn=∑i3 表Sn△Sn△2Sn△3Sn△4Sn△5Sn1 8 19 18 6 09 27 37 24 6 036 64 61 30 6 0100 125 91 36 6 0225 216 127 42441 343 169784 5121296设Sn=a4n4+a3n3+a2n2+a1n+a0,s1=1,s2=9,s3=36,s4=100,s5=225，得a0=0,a1=0,a2=1/4,a3=1/2,a4=1/4.所以，Sn=(1/4)n4+(1/2)n3+(1/4)n2.练习 {Xn}的通项Xn为n的k次多项式，证明∑xi为n的 k+1次多项式；求∑i4.由练习 2 {Crn-1}可得。2.2差分有限差分法的差分方法的发展和应用 前面阐述了两个自变量，线性方程的差分法。实际问题常会遇到多个自变量，非线性的方程或方程组；它们还可能是混合型的偏微分方程（如机翼的跨声速绕流），其解包含着各种问断（如激波间断、接触间断等）。非线性问题的差分法求解是十分困难的。随着电子计算机的发展，在解决各种非线性问题中，差分法得到了很快的发展，并且出现了许多新的思想和方法，如守恒差分格式，时间相关法，分步法等。把定常的微分问题用一个相应的非定常问题来代替，然后用差分法解后者的初值问题，要求当时，它的稳定解为原来问题的解，这类方法叫作时间相关法。实践上，当计算时间足够大时，就能得到满足给定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一边值问题：可以用热传导方程的初边值问题：来代替。若用显式格式计算（27），可避免解大型代数方程组。特别是当微分方程的类型在定解区域内发生变化时，可只用一种类型来算，而使问题大大化简。这种方法在定常问题中广泛使用。缺点是达到定常解的计算时间较长，有待改进。把复杂的问题的每一时间步分解成几个中间步，例如把多维问题按坐标分解为几个一维问题，然后用差分法解这些比较简单的各中间步，最后得到原始问题的近似解，这类方法叫作计算力学的发展史 近代力学的基本理论和基本方程在19世纪末20世纪初已基本完备了，后来的力学家大多致力于寻求各种具体问题的解。但由于许多力学问题相当复杂，很难获得解析解，用数值方法求解也遇到计算工作量过于庞大的困难。通常只能通过各种假设把问题简化到可以处理的程度，以得到某种近似的解答，或是借助于实验手段来谋求问题的解决。第二次世界大战后不久，第一台电子计算机在美国出现，并在以后的20年里得到了迅速的发展。20世纪60年代出现了大型通用数字电子计算机，这种强大的计算工具的出现使复杂的数字运算不再成为障碍，为计算力学的形成奠定了物质基础。与此同时，适用于计算机的各种数值方法，如矩阵运算、线性代数、数学规划等也得到相应的发展；椭圆型、抛物型和双曲型微分方程的差分格式和稳定性理论研究也相继取得进展。1960年，美国克拉夫首先提出了有限元法，为把连续体力学问题化作离散的力学模型开拓了宽广的途径。有限元法的物理实质是：把一个连续体近似地用有限个在节点处相连接的单元组成的组合体来代替，从而把连续体的分析转化为单元分析加上对这些单元组合的分析问题。有限元法和计算机的结合，产生了巨大的威力，应用范围很快从简单的杆、板结构推广向后差分和向前差分求偏微分方程结果一样吗 许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定，则t>t0时刻的解完全取决于初始条件和某些边界条件。利用差分法解这类问题，就是从初始值出发，通过差分格式沿时间增加的方向，逐步求出微分方程的近似解。最简单的双曲型方程的初值问题是：式中 为已知初值函数。这初值问题的解是：由（2）可见，（1a）（1b）的解（2）当a>0时代表一个以有限的速度a沿特征线x－at=常数向右传播的波，而解 在点 的值完全由 在x轴上的点 的值决定。A点就是双曲型方程（1a）在P点的依赖域（图1）。现以初值问题（1）为例介绍初值问题差分方法的基本思想。①剖分网格用网格覆盖（1a），（1b）的定解区域，如图2所示，在x，t平面的上半部作两族平行于坐标轴的直线：并称之为网格线。分别称为空间步长和时间步长。网格线的交点 称为格点。②建立差分格式以下除特别声明外，总设a>0，由泰勒公式，有：即式中是微分方程（1a）用它的解在相邻三个格点（见图2）上的值的差分来表示的形式。略去（4）中关于 高阶项，得到一个较简单的差分方程，但微分方程的解 不再是这方程2^x+3^y+5^z=7 ,2^(x-1)+3^y+5(z+1)=11 那么2^(x+1)+3^y+5^(z-1)=? 引论、准备知识1 引论2 关于偏微分方程的一些基本概念3 Fourier变换和复数矩阵第2章 有限差分方法的基本概念1 有限差分格式2 有限差分格式的相容性、收敛性及稳定性3 研究有限差分格式稳定性的Fourier方法4 研究有限差分格式稳定的其他方法习题第3章 双曲型方程的差分方法1 一阶线性常系数双曲型方程2 一阶线性常系数方程组3 变系数方程及方程组4 二阶双曲型方程5 双曲型方程及方程组的初边值问题6 二维问题习题第4章 抛物型方程的有限差分方法1 常系数扩散方程2 初边值问题3 对流扩散方程4 变系数方程5 多维问题6 应用习题第5章 椭圆型方程的差分方法1 Poisson方程2 差分格式的性质3 边界条件的处理4 变系数方程5 双调和方程6 特征值问题第6章 非线性问题的差分方法第7章 数学物理方程的变分原理第8章 有限元离散方法什么是有限差分原理，求解 概述微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。偏微分方程初值问题的差分法许多物理现象随着时间而发生变化、如热传导过程、气体扩散过程和波的传播过程都与时间有关。描述这些过程的偏微分方程具有这样的性质；若初始时刻t=t0的解已给定

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