正三棱锥p—abc侧面互相垂直，则底面上的高与底边长之比为 题目所给条件不足，无法解答 三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，设侧棱长为a，则 它的对角线的长度为：3 a 球的半径为：3 a 2，再设正三棱锥内切球的。
三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直，求证：顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心． 证明：三棱锥P-ABC，在面PAB中任取一点M，过M作MD⊥PA，ME⊥PB，∵三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直，∴MD⊥平面PAC，ME⊥平面PBC，∴MD⊥PC，ME⊥PC，MD∩ME=M，∴PC⊥平面PAB，同理可证，PA⊥平面PBC，PB⊥平面P.
正三棱锥P-ABC的三条侧棱两两相互垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 正三棱锥P-ABC，棱长a设底面三角形ABC的AB、BC、CA边中点为D、E、F易得三角形BPF、AEP、CDP全等，BF、CD、AE交于O，且PO⊥平面ABC任选PO上一点O'，易证明O'到PD、PE、PF的距离相等当OO'等于O'到PD、PE、PF的距离距离时，恰好就是正三棱锥的内切球半径rOF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3O到三个侧面的距离=1/3设OO'=r(√3/3-r)：√3/3=r：(1/3)r=OO'=(3-√3)a/6验证：O'到PF的距离O'H=OO'设OG⊥PF，O'H/OGsin∠OFP=OP/PF=√6/3，OG=OF*sin∠OFP=a/3(PO-r)/PO=O'H/OGO'H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r所以，正三棱锥内切球的半径r=a(3-√3)/6PO=√3/3
