三点共线问题 设G,I,N分别是△ABC的重心,内心和Nagel点,求证:G,I,N点共线.备注:设△ABC的三个旁切圆在边BC,CA,AB之切点分别为D,E,F,直线AD,BE,CF有公共点,此点即称为该三角形的。
三点共线问题! 充:连AC、BD交于O,连GH交BC于Q。思路:1)证H、O、G三点共线2)证G、O、F三点共线证明:1)略(有类似题目参考:已知四边形ABDC内接于圆O,对角线AD,BC交于点Q,BA,DC延长交于点P,过点P作圆O的两条切线,切点分别为S、T。求证:T,S,Q三点共线以下证明中△ABC的面积记为S(ABC)证明:不妨设S在劣弧AB上,T在劣弧DC上连结SA,SB,TD,TC,ST交AB于G,TA交BC于E,TB交AD于F则AG/GB=S(SGA)/S(SGB)=SAsin∠AST/SBsin∠BST=(SA/SB)/(AT/BT)同理BF/FT=(DB/DT)(AB/AT),TE/EA=(CT/CA)(BT/BA)所以(AG/GB)(BF/FT)(TE/EA)=(SA/SB)(DB/AC)(CT/DT)又易知SA/SB=PA/PS,CT/DT=PT/PD,DB/AC=PD/PA,所以(AG/GB)(BF/FT)(TE/EA)=(SA/SB)(DB/AC)(CT/DT)=PT/PS=1即AF,BE,TG(ST)三线共点,故T,S,Q三点共线)2)BQ/QC=S△BHQ/S△CHQ=BHsin∠BHG/HCsin∠CHG=(BH/HC)(BG/GC)=(BH/HC)(BE/EG)=(BH/HC)(BE/EH)=(BH/HC)2=S△BHE/S△EHC=BE/CE又(FA/AB)(BE/CE)(CD/DF)=1所以(FA/AB)(BQ/QC)(CD/DF)=1所以O、Q、F三点共线因为H、O、G三点共线所以F、G、H三点共线
三点共线问题 解法一:设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bcosβ),Q(acosα,-bsinα),P(a^2/c,0),F(c,0).∵A、B、F共线,∴bsinα/(acosα-c)=bsinβ/(acosβ-c)→a/c=(sinα-sinβ)/sin(α-β。