如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1：AB=2：1，则异面直线AB1与BD所成的角为______ 取A1C1的中点D1，连接B1D1，D是AC的中点，B1D1∥BD，AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB=a，则AA1=2a，AB1=3a，B1D1=32a，AD1=a24+2a2=32a．cos∠AB1D1=3a2+34a2？94a22×3a×32a=12，AB1D1=60°．故答案为：60°
如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中．AB=AA1，D是BC上的一点，且AD⊥C1D，（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（ 证明：（Ⅰ）连接A1C交AC1于E点，则AE=EC1．CC1⊥AD，且AD⊥C1D，CC1∩C1D=C1，AD⊥侧面BCC1B1，∴AD⊥BC．ABC是正三角形，∴D是BC的中点．ED∥A1B．A1B？平面AC1D，ED？AC1D．A1B∥平面AC1D．（Ⅱ）在棱CC1上存在一点P，P为CC1的中点，使直线PB1⊥平面AC1D．下面给出证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1．可得CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AD．又AD⊥C1D，∴AD⊥BC．C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1P．ABC是正三角形，∴D为边BC的中点．在正方形BCC1B1中，可得△CC1D≌△C1B1P，CC1D=∠C1B1P．∴CC1D+∠C1PB1＝90°，∴B1P⊥C1D．AD∩DC1=D，∴B1P⊥平面AC1D．
如图所示，在正三棱柱ABC-A （I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形A1B1∥AB又∵A1B1？平面ABD，AB？平面ABD，A1B1∥平面ABD；（II）取AB中点F，连接EF、CF三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，侧面AA1B1B是矩形E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，AA1⊥平面ABC，AB？平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥ABEF∩CF=F，∴AB⊥平面CEFCE？平面CEF，∴AB⊥CE；（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=34×22×2=23又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高三棱锥E-ABC的体积VE-ABC=13VABC-A1B1C1=233因此三棱锥C-ABE的体积VC-ABE=VE-ABC=233．
