（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）．设D1（0，0，2m）（m＞0），则E（1，1，m）．CE=（1，-1，m），DD1=（0，0，2m）cos＜CE，DD1＞=2m22+m2？2m=2m22+m2？2m=33解得m=1故E点坐标为（1，1，1）证明：（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体．又∵FD=1，F（1，0，0），BD1=（-2，-2，2），EF=（0，-1，-1），AD=（-2，0，0）BD1？EF=0+2-2=0，EF？AD=0+0+0=0BD1⊥EF，EF⊥AD又∵E∈D1B，F∈AD故EF是AD与D1B的公垂线（3）设n⊥平面FD1B，n=（x，y，z）n⊥D1Fn⊥FB，则n？D1F=0n？FB=0又∵D1F=（1，0，-2），FB=（1，2，0）x-2z=0x+2y=0令z=1，则n=（2，-1，1）则DD1与n所成角θ等于二面角D1-FB-C的平面角，cosθ=|n？DD1|n|DD1|=26？2=66二面角D1-BF-C的余弦值为66
已知正四棱柱 中 ，点E为 的中点，F为 的中点。⑴求 与DF所成角的大小；⑵求证： 面 ；⑶求点 到
如图所示，已知正四棱柱ABCD-A 证明：（Ⅰ）连结AD1．∵ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱，∴AA1⊥平面ABCD．∴平面ADD1A1⊥平面ABCD．又AB⊥AD，∴AB⊥平面ADD1A1．∴AB⊥AD1．由已知AD=22，DD1=4，∴AD1=AD2+DD12=26．而AE=2，∴tan∠ADE1=AD1AE=2.
正四棱柱ABCD－A
如图，已知正四棱柱ABCD-A 过A1作A1M⊥AE于M，∵AD⊥平面AA1B1B，A1M？平面AA1B1B，∴AD⊥A1M，又AD？平面AEFD，AE？平面AEFD，AD∩AE=A，∴A1M⊥平面AEFD．设∠BAE=θ，则∠AA1M=θ，∴AE=ABcosθ，A1M=AA1cosθ，∴V A1-AEFD=13S矩形AEFD？.
已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形， ，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2. （1 （1）以O为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系，M（0，0，1）F（，0，1）=（，0，0），MF⊥平面，所以平面AEF⊥平面（2）试题分析：（1）以O为原点，分别为x，y，z轴建立直角坐标系，由条件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB=，从而坐标E（0，1，2），F（，0，1）.（1）连结AE与 交于M，连结MF，可得，M（0，0，1），（，0，0）.则MF⊥平面yOz，即MF⊥平面，所以平面AEF⊥平面.（2）取EC中点G，得平面MFG∥底面ABCD，所以只要求面AEF与面MFG所成的二面角即可.即，可见 是面AEF与面MFG所成二面角的平面角.在Rt△MGE中，EG=1，MG=1，ME=，显然，所求二面角为.本题利用向量求解较简单，坐标原点在底面对角线交点处
已知正四棱柱ABCD-A （Ⅰ）证明：∵AB=BC=1，AA 1=2，点E为CC 1 中点，EB=E C 2+B C 2=1 2+1 2=2，E D 1=E C 1 2+C 1 D 1 2=1 2+1 2=2．（2分）EB=ED 1．又F为BD 1 中点，EF⊥BD 1．（4分）（Ⅱ）由于 V D 1-DBE=V B-ED D 1，…（6分）又因为 V B-ED D 1=1 3 S△ED D 1？BC，而 S△ED D 1=1，BC=1，V B-ED D 1=1 3 S△ED D 1？BC=1 3．故四面体D 1-BDE的体积为 1 3．（10分）
已知直四棱柱ABCD-A 如图所示，连接MF，MO（1）∵EC=2FB，EC∥FBMO是△ACE的中位线2OM=CE，OM∥CEOM=FM，OM∥FB四边形OBFM为平行四边形BO∥MF（2）已知直四棱柱的底面是菱形，且AB=2，∠ABC=60°又∵EC=BC=ABSABD=12？AB2？sinπ3=3三棱锥E-ABD的体积V=13×3×2=233
已知正四棱柱ABCD-A 法一：（1）证：E，F为CC1，BC中点？EF∥BC1？EF∥面BC1MF，M为BC，A1D1中点？AF∥C1M？AF∥面BC1M？面AEF∥面BC1M？AE∥面BC1M（2）分别取AE，ED中点O，O′．连接FO，CO′，OO′，则OO′12AD∥FC∴平行四边形FCO.
