格林公式，曲线积分与路径无关的充要条件. 首先格林公式中的两个条件是完全独立的，不存在哪个可以推出哪个的可能，由闭区域D由分段光滑曲线L围成是推不出P(x，y)及Q(x，y)在D上有一阶连续偏导数的（而且你在问题补充里说的那几个哪个也推不出来），因为围成D的分.
有界闭区间d由分段光滑曲线l围成，则d的面积为？如图的公式，怎么理解？ 二重积分是求体积的，体积等于底面积乘高，当高为1的时候，体积就等于面积的值啦，最后一行注解释了，按要求做，就得到二重积分对1的积分就是面积的2倍啦，就退出公式啦
设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数及在上具有一阶连续偏导数，则有 函数及在上具有一阶连续偏导数p（x，y）和q（x，y）当然连续由格林公式得到的：∮cP(x，y)dx+Q(x，y)dy=∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy
设u（x，y)，v（x，y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线．证明： （1)； （2)， [证](1)如下图所示，n为有向曲线L的外法线向量，τ为L的切线向量，设x轴到n和τ的转角分别为φ和α则，且n的方向余弦为cosφ，sinφ；τ的方向余弦为cosα，sinα ；。
设D是一个区域，其边界由有限个逐段光滑简单闭曲线组成，又设f（z）在区域D内解析，在闭区域C上连续.若f（z）在边界上是常数则它在D内也是常熟. 柯西积分公式可以直接得到
设u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足 u（x，y）在平面有界闭区域D上连续，所以u（x，y）在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点（x0，y0），也就是？u？x＝？u？y＝0，在这个点处A＝？2u？x2，C＝？2u？y2，B＝？2u ？x？y＝？2u？y？x，由条件，显然AC-B2，显然u（x，y）不是极值点，当然也不是最值点，所以u（x，y）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．故选：A．
