曲线积分的一个问题 这个就是方向导数的定义了，你可能没有真正明白方向导数的含义.只是知道对X 或对Y 求导 即在X轴或Y轴上的增量计算当挪到空间中去时就变成向量导数了 此时通过对X 及Y 的求道来转换 因为我们熟悉这个及转换也就是将向量在X Y 轴投影上式的ds暂时没什么用处 估计以后步骤会用到
设函数φ（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分 （1）积分曲线C上任意取两点A和B，将L分成两段L1和L2，再从A、B作一曲线L3，使得其围绕原点，则∮c2xydx+？(x)dyx4+y2=∮L1+L32xydx+？(x)dyx4+y2-∮L？2+L32xydx+？(x)dyx4+y2又由已知，在围绕原点的任意光滑的简单.
计算曲线积分 由题意，设P(x，y)=-yx2+4y2，Q(x，y)=xx2+4y2，C所围成的区域为G（1）闭曲线L内部不包含原点时，显然P，Q在L所围区域G连续，并且有连续的偏导数？P？y=？Q？x=-x2+4y2(x2+4y2)2．故由格林公式，有：Lxdy-ydxx2+4y2=∫G(？Q？x-？P？y)dxdy=0．（2）闭曲线L内部包含原点时．作小椭圆域x2+4y2≤r2，其中r为充分小正数，使得椭圆域包含在G内，椭圆周为Γ，Γ取正向，则由格林公式有：∮Lxdy-ydxx2+4y2=∫Γxdy-ydxx2+4y2．再注意到Γ的参数方程为：x=rcosφ，y=12rsinφ，0≤φ≤2π，得Γxdy-ydxx2+4y2=∫2π012rcosφrcosφ-12rsinφ(-rsinφ)r2dφ=π．于是，∮Cxdy-ydxx2+4y2=π．
设函数φ（y）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分 （I）将C分解为两段：C=l1+l2，另作一条分段光滑简单曲线l3围绕原点且与C相接，则 l1+l3 与 l2+l3 均为过原点的分段光滑简单曲线．则有 I=∮Cφ(y)dx+2xydy2x2+y4=∮l1+l2φ(y)dx+2xydy2x2+y4=∮l1+l3φ(y)dx+2.
