（2010？南京三模）如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PA= （1）因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，0为AC，BD交点，所以OP⊥平面ABCD．因为AB=2，所以OA=2，因为PA=3．所以OP2=PA2-OA2=3-2=1，所以OP=1．如图以O为原点，AC，BD所在直线分别为X轴，Y轴，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），D（0，-2，0），P（0，0，1），则PC=（-2，0，-1），作业帮用户 2017-10-30 问题解析（1）先根据条件得到OP⊥平面ABCD并求出OP=1；然后建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出PC，BD的坐标，通过计算其数量积即可得到结论．（2）先求出两个平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案．名师点评 本题考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角．扫描下载二维码 ？2020 作业帮？联系方式：service@zuoyebang.com？ 作业帮协议
．如图所示，正四棱锥 (1)取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO＝．设AB＝a，AO＝a，∴PO＝AO·tan∠POA＝a，tan∠PMO＝．∴PMO＝60°．(2)连接AE，OE，∵OE∥PD，∴OEA为异面直线PD与AE所成的角．∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE＝PD＝a，∴tan∠AEO＝．(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN．∴平面PMN⊥平面PBC．又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．取AM中点F，∵EG∥MF，∴MF＝MA＝EG，∴EF∥MG．∴EF⊥平面PBC．点F为AD的四等分点．
如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A 证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，又∵AC⊥BD，PA⊥BD，BD∥B1D1，∴PA⊥B1D1．（4分）（2）∵AO⊥BD，AO⊥PO，AO⊥面PBD，过点O作OM⊥PD于点M，连接AM，则AM⊥PD，AMO就是二面角A-PD-O的平面角，（6分）又∵AB=2，PA=6，OD=2，PO=6？2＝2，OM=PO？ODPD＝2×26＝23，tan∠AMO=AOOM＝22 作业帮用户 2016-11-25 问题解析（1）连接AC，交BD于点O，连接PO，根据正四棱锥的几何特征易得PO⊥面ABCD，进而PO⊥BD，再由正方形对角线互相垂直得AC⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC，进而PA⊥BD，结合BD∥B1D1，即可得到PA⊥B1D1；（2）过点O作OM⊥PD于点M，连接AM，由（1）中结论，可证得∠AMO就是二面角A-PD-O的平面角，解三角形AMO，即可得到平面PAD与平面BDD1B1所成的锐二面角θ的大小；（3）分别取AD，BC中点E，F，作平面PEF，交底面于两点S，S1，交B1C1于点B2，过点B2作B2B3⊥PS于点B3，则B2B3⊥面PAD，即B2B3的长就是点B1到平面PAD的距离．名师点评 本题考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．考点点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求不地，空间点到平面的距离，直线与直线垂直的判定，其中（1）的关键是。
如图，P—ABCD是正四棱锥，
如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A 以D 1 为原点，D 1 A 1 所在直线为x轴，D 1 C 1 所在直线为y轴，D 1 D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D 1（0，0，0），A 1（2，0，0），B 1（2，2，0），C 1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2）.
如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 是正方体，其中AB=2，PA= 6 ．（1）求证： 以D 1 为原点，D 1 A 1 所在直线为x轴，D 1 C 1 所在直线为y轴，D 1 D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D 1（0，0，0），A 1（2，0，0），B 1（2，2，0），C 1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），P（1，1，4）．（1）证明：∵AP=（-1，1，2），D 1 B 1=（2，2，0），AP？D 1 B 1=-2+2+0=0，PA⊥B 1 D 1．（2）平面BDD 1 B 1 的法向量为 AC=（-2，2，0）．DA=（2，0，0），OP=（1，1，2）．设平面PAD的法向量为 n=（x，y，z），则 n⊥DA，n⊥DP．2x=0 x+y+2z=0∴x=0 y=-2z．取 n=（0，-2，1），设所求锐二面角为θ，则cosθ=|n？AC|n|？AC|=|0-4+0|2 2×5=10 5．
如图，P﹣ABCD是正四棱锥，ABCD﹣ （1）证明以 为x轴，为y轴，A为z轴，建立空间直角坐标系，设E为BD的中点，∵P﹣ABCD是正四棱锥，∴PE⊥平面ABCD，∵，∴PE=2，∴P（1，1，4），∴，∴，故PA⊥．（2）设平面PAD的法向量.
