设对xoy面上任意的简单光滑有向闭曲线L，都有∮ 设P(x，y)＝y(f(x)+ex)+12y2，Q（x，y）=f′（x）-ex+xy由对xoy面上任意的简单光滑有向闭曲线L，都有∮L[y（f（x）+ex）+12y2]dx+[f′（x）-ex+xy]dy=0，知？Q？x＝？P？y，即f″（x）-ex+y=f（x）+ex+yf″（x）-f（x）=2ex…（*）这是二阶非齐次线性微分方程，其中特征方程为：r2-1=0特征根为r1，2=±1对应的二阶齐次线性微分方程的通解为：C1e？x+C2ex，其中C1、C2为常数函数2ex是Pm(x)eλx型，其中Pm（x）=2，λ=1可设特解为：y*=bxex，其中b是待定的常数．将其代入方程（*），解得b=1y*=xex方程（*）的通解为y＝f(x)＝C1e？x+C2ex+xex又已知曲线y=f（x）在x=0处与直线y=2x相切即曲线通过点（0，0），且y′|（0，0）=2C1+C2＝0？C1+C2+1＝2解得C1＝？12，C2＝12f(x)＝？12e？x+12ex+xex．
在平面上任意画一条简单光滑闭曲线，求此闭曲线围成的平面图形的面积.并观察当曲线上取的点逐渐增加时，所求多项式及所求面积值的变化情况. 任意画一条简单光滑闭曲线，你得给出表达式，MATLAB 才能编程呀.分段函数，分为y大于0 和小于0两段，分别画.不分段的函数就更简单了.x1=-1：0.01：3；y1=sqrt(abs(4-(x1-1).^2))；plot(x1，y1)hold on；x2=-1：0.01：3；y2=-sqrt(abs(4-(x-1).^2))；plot(x2，y2)axis equal或者用 easy plot：ezplot('(x-1)^2+y^2=4')
设C为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向．则∮ cxdy？ydxx2+4y2 由题设，知曲线积分的P＝？yx2+4y2，Q＝xx2+4y2，且它们在C所围成的区域里具有一阶连续偏导数容易求得：？Q？x＝1x2+4y2？2x2(x2+4y2)2，？P？y＝？1x2+4y2+8y2(x2+4y2)2Q？x？P？y＝0由格林公式，设C所围成的平面区域为D，得cxdy？ydxx2+4y2=∫D？Q？x？P？y)dxdy＝0故选：B
L为平面内光滑的简单闭曲线，并取正向，求曲线积分 的最大值 使用格林公式原积分=∫（1-3x^2-3y^2)dxdy 积分区域是D要使该积分最大，就来要让D取被积函数为正的全体区源域，就是3x^2+3y^2这个区域D超出它的话，被积函数出现负值，会使积分值变zd小；只在里面取一部分的话，当然积分值也会变小。
求曲线积分∮ 由题意，设P(x，y)=-yx2+y2，Q(x，y)=xx2+y2，C所围成的区域为G（1）闭曲线L内部不包含原点时，显然P，Q在L所围区域G连续，并且有连续的偏导数？P？y=？Q？x=-x2+9y2(x2+9y2)2．故由格林公式，有：Lxdy-ydxx2+9y2=∫G(？Q？x-？P？y)dxdy=0．（2）闭曲线L内部包含原点时．作小椭圆域x2+9y2≤r2，其中r为充分小正数，使得椭圆域包含在G内，椭圆周为Γ，Γ取正向，则由格林公式有：∮Lxdy-ydxx2+y2=∫Γxdy-ydxx2+9y2．再注意到Γ的参数方程为：x=rcosφ，y=13rsinφ，0≤φ≤2π，得Γxdy-ydxx2+9y2=∫2π013rcosφrcosφ-13rsinφ(-tsinφ)r2dφ=2π3．于是，∮Cxdy-ydxx2+y2=2π3．
设在上半平面D={（x，y)|y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t＞0都有f(tx，ty)=t^(-2) f(x，y).证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮yf(x，y)dx - xf(x，y)dy=0.(积分区域为L)
