刘维尔的函数论 刘维尔认真研究了G．W．莱布尼茨(Leibniz)、约翰·伯努利(Johann Bernoulli)和L．欧拉(Euler)的著作。他在早期工作中尽可能地扩展微分和积分的概念，尤其是建立任意阶导数的理论。1832年12月7日和1873年2月4日，刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文，对代数函数和超越函数进行了分类，以此整理N．H．阿贝尔(Abel)、P．S．拉普拉斯(Laplace)等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论，在此基础上，他于1834年给出了初等函数的分类：有限个[url[复变量的代数函数为第0类初等函数；ez和logz为第1类初等函数；二者合称为最多第1类初等函数。若已定义最多第n-1类初等函数，则它与最多第1类初等函数的复合称最多第n类初等函数。是最多第n类而非最多第n-1类的初等函数称第n类初等函数。初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。刘维尔涉足科学领域之际，由阿阿尔和C．雅可比(Jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期。1844年12月，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数)出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。这是对椭圆函数论的一个较大贡献。围绕双周期性。
阿贝尔定理的参考资料 阿贝尔与椭圆函数椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色，开拓了“柳暗花明”的前途。关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的反函数就是三角函数。不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它。。
雅可比的人物生平 雅可比出生于一个富裕的犹太人家庭，其父是银行家。雅可比自幼聪明，幼年随他舅舅学习样丁文和数学。1816年11月进入波茨坦大学预科学习，1821年春毕业。当时他的希腊语、拉丁语和历史的成绩都很优异；尤其在数学方面，他掌握的知识远远超过学校所教授的内容。他还自学了L.欧拉的《无穷小分析引论》，并且试图解五次代数方程。1821年4月雅可比入柏林大学，开始两年的学习生活，他对哲学、古典文学和数学都颇有兴趣。该校的校长评价说，从一开始雅可比就显示出他是一个“全才”。像高斯一样，要不是数学强烈吸引着他，他很可能在语言上取得很高成就。雅可比最后还是决定全力投身数学。1825年，他获得柏林大学理学博士学位。之后，留校任教。1825年到1826年冬季，他主讲关于三维空间曲线和曲面的解析理论课程。年仅21岁的雅可比善于将自己的观点贯穿在教学之中，启发学习独立思考，是当时最吸引人的数学教师，他的成功引起普鲁士教育部的注意。1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大学任教，在柯尼斯堡大学的18年间，雅可比不知疲倦地工作着，在科学研究和教学上都做出惊人的成绩。他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家N.H.阿贝尔相互独立地奠定了椭圆函数论的基础，引入并。
