已知函数y=fx的定义域为D 若对于任意的x1，x2属于D(x1不等于x2)都有f((x1+x2)/2) f（m）=m^2f(n)=n^2[f（m）+f(n)]/2={m^2+n^2}/2f((m+n)/2)=(m/2+n/2)^2=(m^2+n^2+2mn)/4[f（m）+f(n)]/2-f((m+n)/2)=(m/2+n/2)/2-(m^2+n^2+2mn)/4=(m-n)^2/4>；0这道题实际上没必要硬解，选实际的数往里带 方便得多
若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x （1）D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）=1x∈M，则存在非零实数x0，使得1x0+1=1x0+1即x02+x0+1=0，因为此方程无实数解，所以函数f（x）=1x？M．（2）D=R，则存在实数x0，使得2x0+1=2x0+2解得x0=1，因为此方程有实数解，所以函数f（x）=2x∈M．（3）若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3即2x2-2x+3=0，4-24=-20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x2+2）？M④存在x=13使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；综上可知②④中的函数属于集合故答案为：②④
已知函数fx是定义域是R的偶函数，若fx在(0，到正无穷）上是增函数 证明fx在（负无穷，0）上是减函数 取任意 x1则-x1>；-x2>；0因为 f(x)在(0，+∞)上是增函数所以 f(-x1)>；f(-x2)又因为 f(x)是定义域是 R 的偶函数所以 f(-x1)=f(x1)，f(-x2)=f(x2)所以 f(x1)>；f(x2)所以 f(x)在(+∞，0)上是减函数
若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而 （1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=f(x)x＝1+4x在（1，2）上是减函数，所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；g（x）=x2+4x+2在（1，2）上是增函数，但g(x)x＝x+4+2x在（1，2）上不单调，所以g（x）=x2+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．（2）因为h(x)＝x2+(sinθ？12)x+b（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”所以h(x)＝x2+(sinθ？12)x+b在（0，1]上是增函数，且F（x）=h(x)x＝x+bx+(sinθ？12)在（0，1]上是减函数，由h(x)＝x2+(sinθ？12)x+b在（0，1]上是增函数，得h′（x）≥0即2x+（sinθ-12）≥0在（0，1]上恒成立，所以？(sinθ？12)2≤0，得sinθ≥12，解得θ∈[2kπ+π6，2kπ+5π6]，k∈Z．由F（x）=h(x)x在（0，1]上是减函数，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，即1-bx2≤0，b≥x2在（0，1]上恒成立，所以b≥1．综上所述，b≥1且θ∈[2kπ+π6，2kπ+5π6]k∈Z时，h（x）在（0，1]上是“弱增函数”．
设函数fx定义域为D，如果任意x属于D，存在y属于D，使得f（x）＝-f（y），则称函数fx为Ω函数，给出下列四个函数：①y＝sinx②y＝2∧x③y＝1/（x＋1）④y＝lnx 。
对于函数fx定义域为D若存在x0属于D是使f（X0）=X0则称（X0，XO)为fx图像上的不动点，已知函数fx=9x-5/x+3 fx=(9x-5)/(x+3)定义域x+3≠0即x≠-3f（X0）=X0则称（X0，XO)为fx图像上的不动点就是解方程(9x-5)/(x+3)=x9x-5=x2+3xx2-6x+5=0(x-1)(x-5)=0x=1或x=5不动点的坐标（1，1)和(5，5)
函数fx的定义域为D，若满足1fx在D内是单调函数2存在【a/2，b/2】属于D，使得fx的值域为【a，b】，那么就称函数为优美函数.若函数fx=logc(c^x-t)为优美函数，则t的取值范围 因为函数f(x)=㏒c(c^x+t).在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“成功函数”，方程 f(x)=1/2x必有两个不同实数根，f(x)=㏒c(c^x+t)=1/2xc^x+t=c^x/2c^x-c^x/2+t=0，a^2-a+t=0有两个不同的正数根，t∈(0，1/4)．
