欧拉定理证明的“ 用‘嵌入’ 法中和”

欧拉定理证明和差化积公式？ 正弦、余弦的和差化积sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2co：-积公式，欧拉，定理，证明：欧拉定理。

数论 欧拉定理证明 为何要整个完全剩余系的数相乘

平面几何欧拉定理是怎么证明的？画图 设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．证明 O、I分别为⊿ABC的外心与内心．连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分DBAC，故D为弧BC的中点．连DO并延长交⊙O于E，则DE为.

欧拉定理证明的简单归纳 注：作者声明自己不喜欢这样的证明.It is to my mind unnecessarilycomplicatedand inelegant；证明1：(归纳面）将一个图先 嵌入 二维平面得到图G.当G只有一个面时：E(1)=V(1)-1+F(1)-1当G有N个面时，设：E(N)=V(N-1)-1+F(N-1)-1我们去除一条G中两个面的一条临边，得到G有 N-1个面时E(N-1)=E(N)-1V(N-1)=V(N)F(N-1)=F(N)故：E(N-1)=V(N-1)-1+F(N-1)-1丛而归纳出欧拉公式成立证明2：（归纳顶点）将一个图先 嵌入 二维平面得到图G.当G只有一个顶点时(一个简单环)F(1)+V(1)-E(1)=(E(1)+1)+1-E(1)=2当G有N个顶点时，假设结论成立我们去除一条G中两个面的一条临边，得到G有 N-1个面时，面和边各减少1.故结论成立证明3：（归纳边）和上面的方法一个思路略.

欧拉定理证明的“ 用‘嵌入’ 法中和” 和上一法不同，我们首先得到凸多面体的在二维平面的一个 嵌入(embedding)：如图：首先，我们旋转图使之没有一个是竖直的.之后，将在每个面和顶点中点上放一个正电荷，在每条边中点上放一个负电荷。(注意：多面体的嵌入，将平面分成几个区域则原多面体有几个边，因此图外的面上也放一个正电荷.)下一步我们规定电荷移动的方向：(1)移动边上的电荷到右方顶点.(2)移动面上的电荷到面最右的顶点.(3)图外面的正电荷不动.这样，除了最左边的顶点和图外的顶点上的两个电荷全部中和.

欧拉定理证明的缩小面的归纳 证明：当凸多面体只有一个面时，V(1)+(F(1)-1)-(E(1)-1)=0 显然成立.假设当有N个面时这一性质仍然成立.这时我们，从凸多面体上取下一个面.这时多面体成为了一个 开口的容器.我们这时在不影响面数的前提下缩小这个 开口，直到为一个点.于是得到一个新的凸多面体.设这个凸多面体比原来少了 M 个顶点，则这M个顶点在 开口 上，因此这个多面体比之原先，又减少了M条边.这样假设在N-1 时成立

欧拉定理公式的证明 简单多面体的顶点2113数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个5261公式4102叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶1653点数、面数、棱数特有的规律。方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有F个面，各面的边数为n1，n2，…，nF，各面内角总和为：α=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+…+(nF-2)·1800](n1+n2+…+nF-2F)·1800(2E-2F)·1800=(E-F)·3600（1。

欧拉定理证明的引文： 嵌入(embedding)将图G 嵌入 一个平面后得到的它在该平面的一个 嵌入 W，则：W上的顶点一一对应G上边的端点，W中的边一一对应G上的简单弧，并满足：1.W中任意一条弧的端点对应G中一条边的顶点.2.W中任意一条弧上的点和G中顶点不相关3.W中任意两条弧的交点对应G中边的顶点.简单弧(simple arc)平面内无环路连续曲线.图的对偶(dual graph)G*是图G的对偶，则：在平面内被图分隔开的每一个区域中取一个点，并将这些相临区域中取得的点用边相连，得到的图是G*.(对偶的性质是对称的，用 G*表示G的对偶，则G*=G)如图：G' 与G 互相对偶.连通图(connected graph)如果无向图所有顶点互相可达，则它是连通的.生成树(spanning tree)一棵遍历图所有顶点的树.翻译的欧拉公式 V+F-E=2 的19种证明方法（原文：Nineteen Proofs of Euler's Formula）我的话：1.若论思想性、精简、严密，原文远胜。所以赘述，乃体谅中文资料难求之苦。2.欢迎修改注：1>；带引号的词语，我也不确定.2>；斜体词语，后面有解释，3>；未完成注2：1>；V+F-E=2 是拓扑学重要公式(原型被推广到了凹多面体 V+F-E=C)：.欧拉公式还有很多2>；以下证明，有三个重要的数学模型被使用，证明中我给出了简述，其实不严密.有兴趣。

欧拉定理证明