欧拉常数有什么用 调和级数(1/n)n=1是发散的,而极限nlim[∑(1/k)-ln n]n→k=1却是收敛的,将该极限值称为欧拉(EULER)常数γ,近似计算γ=0.5772156.(人家问的是欧拉常数,不是欧拉数啊)欧拉常数有什么用 欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)学过高等数学的人都知道,调和级数S=1+1/2+1/3+…是发散的,证明如下:由于ln(1+1/n)(n=1,2,3,…)于是调和级数的前n项部分和满足Sn=1+1/2+1/3+…+1/n>;ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)由于lim Sn(n→)≥lim ln(n+1)(n→)=∞所以Sn的极限不存在,调和级数发散。但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→)却存在,因为Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>;ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)由于lim Sn(n→)≥lim ln(1+1/n)(n→)=0因此Sn有下界而Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>;ln(1+1/n)-1/n>;0所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→)存在。于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数。在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项。欧拉常数的概述 欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。由无穷级数理论可知,调和级数 是发散的。但可以证明,存在极限。由不等式 可得故 有下界。而再一次根据不等式,取,即可得所以 单调递减。由单调有界数列极限定理,可知 必有极限,即存在。该极限被称作欧拉常数,现在通常将该常数记为γ。什么是欧拉常数 调和级数(1/n)n=1是发散百的,而极限nlim[∑(1/k)-ln n]n→k=1却是度收敛的,将该极限值称为知欧拉(EULER)常道数γ版,近似计算γ=0.5772156.(人家问的是欧拉常数,权不是欧拉数啊)欧拉常数的历史 欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉1735年定义。曾使用C作为它的符号,并计算出了它的前6位小数。1790年,意大利数学家马歇罗尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号,并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。
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