已知函数 （1）函数的定义域为（0，+∞）．f′(x)＝？ax2+1x＝x？ax2．x=1时函数y=f（x）取得极小值，f′（1）=0，得a=1．当a=1时，在（0，1）内f′（x），在（1，+∞）内f′（x）＞0，x=1是函数y=f（x）的极小值点．故a=1．（2）证明：f（x）＞32-x等价于：f（x）+x＞32．令g（x）=f（x）+x，则g′(x)＝x？1x2+1＝x2+x？1x2，令h（x）=x2+x-1，h（0）=-1，h（12）=？14，x∈(0，12)时，h（x），g′（x），g（x）在（0，12）上单调递减．g（x）＞g(12)，即g（x）＞2-ln2+12=32+(1？ln2)＞32，f（x）+x＞32，故f（x）＞32？x．
设函数 （Ⅰ）f（x）的定义域为（-1，+∞），因为f(x)=ln(x+1)-axx+1(a∈R)，所以f′（x）=1x+1-a(x+1)2，因为f（0）为f（x）的极小值，所以f′（0）=0，即10+1-a(0+1)2=0，所以a=1，此时，f′（x）=x(x+1)2，当x∈（-1，0）时，f′（x），f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）>；0，f（x）单调递增．所以f（x）在x=0处取得极小值，所以a=1．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上为单调递增函数，所以f（x）>；f（0）=0，所以f（x）>；0对x∈（0，+∞）恒成立．因此，当a时，f（x）=ln（x+1）-axx+1>；ln（x+1）-xx+1>；0，f（x）>；0对x∈（0，+∞）恒成立．当a>；1时，f′（x）=x-(a-1)(x+1)2，所以，当x∈（0，a-1）时，f′（x），因为f（x）在[0，a-1）上单调递减，所以f（a-1）（0）=0，所以当a>；1时，f（x）>；0并非对x∈（0，+∞）恒成立．综上，a的最大值为1．（13分）
设函数f（x）=-x（x-a） 对函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R）求导数，得，y′=-（3x-a）（x-a）令y′=0，得，x=a，或x=a3当a，a，当x时，y′，当a时，y′＞0，当x＞a3时，y′，∴函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且.
已知函数f（x）= 解；（1）∵f（x）=23x3？12x2？x+1，f′（x）=2x2-x-1，令f′（x）=0，则x=-12或x=1由x或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；12时，f′（x），此时函数为减函数；故当x=-12时，函数f（x）的极大值3124当x=1时，函数f（x）的极小值16（2）令t=sinx，t∈[-1，1]则f（sinx）=f（t）=23t3？12t2？t+1由（1）可得f（t）在[-1，-12]上单调递增，在[-12，1]上单调递减又∵f（-1）=56，f（-12）=3124，f（1）=16故函数f（sinx）的最大值为3124，最小值为16（3）若函数g（x）=f（x）+a的图象与x轴有且只有一个交点，则函数g（x）的极大值3124+a与极小值16+a同号即（3124+a）（16+a）＞0解得a或a＞-16
已知函数
设函数f(x)在R上可导，其导函数 答案：C解析：由函数在处取得极小值可知，则；则时，时 提示：本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．
设函数（a、b、c、d∈R）图象C关于原点对称，且 x=1时，取极小值（1）求 f(x)的解析式；（2）当 时，求函数 f(x)的最大值（1）∵函数 图象关于原点对称，∴对任意实数，即 恒成立时，取极小值，解得(2)令 得x100极大值极小值－又，故当 时，.略
证明“任何一个严格凸函数在R上存在唯一一个极小值点” 这是伪命题。举例：e^x，是R上的严格凸函数，但无极小值点。若改成：严格凸函数若存在极小值点，那么存在唯一极小值点。则成立。证法可以用反证法，按定义证明，注意不能用。
