如图，正三棱柱 (1)取 中点，连结．为正三角形，．正三棱柱 中，平面 平面，平面．-2分连结，在正方形 中，分别为的中点，4分在正方形 中，平面．-6分(2)设 与 交于点，在平面 中，作 于，连结，由(Ⅰ)得 平面．，为二面角 的平面角．-8分在 中，由等面积法可求得，又，所以二面角 的正弦大小略
如图，正三棱柱ABC-A （1）证明：设B 1 C 1 的中点为D 1，∵PB 1=PC 1，∴PD 1⊥B 1 C 1，又∵△A 1 B 1 C 1 是正三角形，∴A 1 D 1⊥B 1 C 1，∴B 1 C 1⊥平面PA 1 D 1，PA 1⊥B 1 C 1，又∵BC∥B 1 C 1，∴PA 1⊥BC；（2）∵平面PB 1 BCC 1⊥平面A 1 B 1 C 1，∴PD 1⊥平面A 1 B 1 C 1，又∵AA 1⊥平面A 1 B 1 C 1，∴A，A 1，P，D 1 四点共面，如图，以点D 1 为坐标原点，D 1 B 1，D 1 A 1，D 1 P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系D 1-xyz，平面PAA 1 所在平面为坐标平面yOz，取平面PAA 1 的一个法向量 m=(1，0，0)由 P C 1=P B 1=2，B 1 C 1=2 得到PD 1=1，由A 1 B 1=B 1 C 1=C 1 A 1=2得到 A 1 D 1=3，点P的坐标为（0，0，1），点A 1 的坐标为(0，3，0)，点C 1 的坐标为（-1，0，0），设平面PC 1 A 1 的法向量为 n=(x，y，z)，则 n？P A 1=(x，y，z)？(0，3，-1)=0，所以 z=3 y n？P C 1=(x，y，z)？(-1，0，-1)=0，所以x=-z，令y=1，则 n=(-3，1，3)，cos？ m，n＞=-3 7=-21 7，即所求二面角是 arccos 21 7．
如图，正三棱柱ABC-A （1）证明：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，有CC1⊥底面ABC，AM？面ABC，∴CC1⊥AM，…（1分）又∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥MC1且AM=MC1∵CC1∩C1M=C1，∴AM⊥面CC1M，…（2分）∵BC？面CC1M，∴.
如图，正三棱柱ABC﹣A （Ⅰ）证明：∵ABC﹣A 1 B 1 C 1 是正三棱柱，AA 1⊥平面ABC，BE⊥AA 1．ABC是正三角形，E是AC中点，BE⊥AC，BE⊥平面ACC 1 A 1．BE 平面BEC 1平面BEC 1⊥平面ACC 1 A 1．（Ⅱ）证明：连B 1 C，设BC 1∩B 1 C=D．ABC﹣A 1 B 1 C 1 是正三棱柱，BCC 1 B 1 是矩形，D是B 1 C的中点．E是AC的中点，AB 1∥DE．DE 平面BEC 1，AB 1 平面BEC 1，AB 1∥平面BEC 1．（Ⅲ）作CF⊥BC 1 于F，FG⊥BC 1 于G；连CG．平面BEC 1⊥平面ACC 1 A，CF⊥平面BEC 1FG是CG在平面BEC 1 上的射影．根据三垂线定理得，CG⊥BC 1．CGF是二面角E﹣BC 1 ﹣C的平面角．设AB=a，∵．在Rt△ECC 1 中，CF=在Rt△BCC 1 中，CG=．在Rt△CFG中，∵，CGF=45°．二面角E﹣BC 1 ﹣C的大小是45°
如图，正三棱柱ABC-A （Ⅰ）证明：因为ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以CC1⊥平面ABC因为AD？平面ABC，所以CC1⊥AD因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.
