如图，在正三棱柱ABC-A
如图，正三棱柱ABC-A （1）设N为B1C1中点，连接MN，AM，因为M为BC中点．所以MN∥BB1．又因为ABC-A1B1C1为正三棱柱所以MN⊥底面ABC，AM⊥BC，所以MA，MC，MN互相垂直，以点M为原点，分别以MA，MC，MN为x，y，z轴，建立空间直角坐标系M-xyz.
如图，在正三棱柱ABC-A （1）证明：连AB1交A1B于点E，连DE，则E是AB1的中点，∵D是AC的中点，∴DE∥B1C∵DE？平面A1BD，B1C？平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（2）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱柱∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD，∵AB=BC，D是AC的中.
如图，正三棱柱ABC-A （1）取BC、C1C的中点分别为H、N，连接HC1，FN交于点K，则点K为HC1的中点，因FN∥HC，则△HMC∽△FMK，因H为BC中点，BC=AB=2，则KN=12，FK=32，∴HCFK=HMMK=23，则HM=15HC1，在Rt△HCC1，HC2=HM？HC1，解得HC1=5，C1.
如图，在正三棱柱中，AB=2，AA （I）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形其对角线长为62+22=40=210．（II）如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为DC2+CC12=42+22=25，DMA≌△C1MA1，AM=A1M故A1MAM=1．（III）连接DB，C1B，则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在△DCB中，DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，CB⊥DB，又C1C⊥平面CBD，由三垂线定理得C1B⊥DB，∴C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），侧面C1B1BC是正方形，∴C1BC=45°，故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．
如图，正三棱柱ABC-A （1）证明：∵ABC-A1B1C1是正三棱锥，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD，在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD．BB1∩BD=B，AD⊥平面BB1D，∴AD⊥B1D．（4分）（2）连接DE．AA1=AB，四边形A1ABB1是正方向，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，DE∥A1C，∵DE？平面AB1D，A1C？平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（8分）（3）VA1？AB1D＝VB1？A1AD，所以13？12？32a？52a？d＝13？12？32a？a？a2，解得d＝55a．（12分）
如图，在正三棱柱ABC﹣ （1）证明：连接A 交 C于点G，连接DG，在正三棱柱ABC﹣ 中，四边形AC 是平行四边形，AC=G，AD=DB，DG∥BDG 平面 DC，B 平面 DC，B∥平面 DC．（2）过点D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥C交 C于F，连接EF．平面ABC⊥面平AC，DE 平面ABC，平面ABC∩平面AC=AC，DE⊥平AC．EF是DF在平面AC 内的射影．EF⊥C，DFE是二面角D﹣ C﹣A的平面角，在直角三角形ADC中，．同理可求：．
如图，正三棱柱A 取A1B1的中点D，连接BD，则C1D⊥面ABB1A1，C1DB为BC1与面ABB1A1所成的角．正三棱柱A1B1C1-ABC中，AB＝2，AA1＝2，C1D=BD=3，C1DB=45°，即BC1与面ABB1A1所成的角大小是45°．故选：B．
