设X（t)的均值为u，协方差函数CX（τ)=e－α|τ|，有限时间平均为 试求： 因为，所以X(t)的均值函数具有遍历性。nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；nbsp；由切比雪夫不等式，得 ；nbsp；由可得 ；nbsp；而 ；nbsp；故当时，P{|uT-u|≥0.95。
给定一随机过程X（t)及其自相关函数RX（t1，t2)，a为常数，试确定随机过程Y（t)=X（t＋a)－X（t)的自相关函数RY（t1，t2 RY(t1，t2)=E[Y(t1)Y(t2)]=E{[X(t1+a)-X(t1)][X(t2+t)-X(t2)]}=E[X(t1+a)X(t2+a)]-E[X(t1+a)X(t2)]-E[X(t1)X(t2+a)]+E[X(t1)X(t2)]=R(t1+a，t2+a)-RX(t1+a，t2)-RX(t1，t2+a)+。
设随机过程，其中ω为常数，Ak为第k个信号的随机振幅，Θk是在（0，2π)上均匀分布的随机相位，所有随机变量Ak，Θk，k= (1)X(t)的均值函数 ；nbsp；nbsp；nbsp；因为Θk～U(0，2π)，故 ；nbsp；所以 ；nbsp；nbsp；nbsp；(2)X(t)的自协方差函数为 ；nbsp；nbsp；nbsp；由于k≠l时，Θk与Θl。
维纳过程的特点 维纳过程又称布朗运动，它具有如下特点：⑴它是一个Markov过程。因此该过程的当前值就是做出其未来预测中所需的全部信息。⑵维纳过程具有独立增量。该过程在任一时间区间上变化的概率分布独立于其在任一的其他时间区间上变化的概率。⑶它在任何有限时间上的变化服从正态分布，其方差随时间区间的长度呈线性增加。给定二阶矩过程{W(t)，t>；=0}，如果它满足⒈具有独立增量⒉对任意的t>；s>；=0，增量W(t)-W(s)~N(0，σ^2(t-s）），且s>；0⒊W(0)=0则称此过程为维纳过程.维纳过程是布朗运动的数学模型.英国植物学家布朗在显微镜下，观察漂浮在平静的液面上的微小粒子，发现它们不断地进行着杂乱无章的运动，这种现象后来称为布朗运动.以W(t）表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻t>；0的位移的横坐标（同样也可以讨论纵坐标），且设W(0)=0，根据爱因斯坦1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量随机的相互独立的分子的碰撞的结果.于是，粒子在时段（s，t]上的位移可以看作是许多微小位移的代数和.则W(t)-W(s）服从正态分布.维纳过程增量的分布只与时间差有关，所以它是齐次的独立增量过程.它也是正态过程.其分布完全由它的均值函数与自协方差函数所确定.维纳过程不只是。
泊松分布？ 可靠性中常用的概率分布名称记号 概率分布及其定义域、参数条件 均值E(X)方差D(X)图形 泊松分布P（λ）λ λ泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的。
函数的详细发展史和产生背景 随机过程的发展随时间推进的随机现象的数学抽象。例如，某地第n年的年降水量xn由于受许多随机因素的影响，它本身具有随机性，因此便是一个随机过程。类似地，森林中某种动物的头数，液体中受分子碰撞而作布朗运动的粒子位置，百货公司每天的顾客数，等等，都随时间变化而形成随机过程。严格说来，现实中大多数过程都具有程度不同的随机性。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是。
设{W（t)，t≥0)是以σ2为参数的维纳过程，求下列过程的协方差函数： （1) W（t)＋At（A为常数)． （2) W（t)＋Xt，X为与 因W(t)是维纳过程，故有 ；nbsp；μW(t)=E[W(t)]=0，CW(s，t)=E[W(s)W(t)]=σ2min{s，t}，s，t≥0． ；nbsp；(1)记Z1(t)=W(t)+At，则有 ；nbsp；nbsp；nbsp；故 ；。
标准布朗运动的方差和协方差是多少 布朗运动是独立增量过程，所以协方差，cov(Bs，Bt)=min(s，t)，可假du设s>；t证之。Bt服从N(0，t)。积分即得原62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333433643065点反射的期望方差。{B(t)}布朗运动(brownian motion)也称为维纳过程，是一个随机过程，如果满足以下性质：1、独立的增量对于任意的t>；s，B(t)-B(s)独立于之前的过程B(u)：0。2、正态的增量B(t)-B(s)满足均值为0方差为t-s的正态分布。即，B(t)-B(s)~N(0，t-s)。3、连续的路径B(t)，t>；=0是关于t的连续函数。固定一条路径，B(t)->；B(s)满足依概率收敛。扩展资料：布朗运动特点：1、无规则每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力，由于分子运动的无规则性，每一瞬间，每个分子撞击时对小颗粒的冲力大小、方向都不相同，合力大小、方向随时改变，因而布朗运动是无规则的。2、永不停歇因为液体分子的运动是永不停息的，所以液体分子对固体微粒的撞击也是永不停息的。3、颗粒越小，布朗运动越明显颗粒越小，颗粒的表面积越小，同一瞬间，撞击颗粒的液体分子数越少，据统计规律，少量分子同时作用于小颗粒时，它们的合力是不可能平衡的。而且，同一瞬间撞击的分子数越少，其合力越不平衡，又颗粒越小，。
设随机过程X(t)=W(t)的平方，t≥0求X(t)的自相关函数，W(t)为维纳过程
设S（t)是一个周期为a的函数，Φ是在（0，a)上服从均匀分布的随机变量，则X（t)=S（t＋Φ)称为随机相位方程，若S（t)具 nbsp；nbsp；故X(t)的均值函数具有遍历性。
