薄球壳的转动惯量推导方法 设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影.这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为 r∈[0，+∞)，φ∈[0，2π]，θ∈[0，π].当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r=常数，即以原点为心的球面；θ=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ=常数，即过z轴的半平面.球坐标系下的微分关系：在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ 球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)×dl(φ)=r2sinθdθdφ 体积元的体积为：dV=dl(r)×dl(θ)×dl(φ)=r2sinθdrdθdφ 对于球壳转动惯量：设以z坐标为轴的转动惯量J；球壳面积密度ρ；回转半径Rsinθ；dJ=ρ(Rsinθ)2 dS球壳半径为常数，dS=R2sinθdθdφ J=2∫02∏0∏/2 ρ(Rsinθ)2 R2sinθdθdφ；取半壳积分=2ρR4∫02∏0∏/2 sinθ3 dθdφ=8/3 ρ∏R4ρ=球壳质量M/球壳面积SS=2∫02∏0∏/2 R2sinθdθdφ=4∏R2 把ρ=M/(4∏R2)代入得 得 J=2/3 MR2
