如图所示，在正三棱柱ABC-A 证明：（Ⅰ）连接A1C交AC1于E点，则AE=EC1．CC1⊥AD，且AD⊥C1D，CC1∩C1D=C1，AD⊥侧面BCC1B1，∴AD⊥BC．ABC是正三角形，∴D是BC的中点．ED∥A1B．A1B？平面AC1D，ED？AC1D．A1B∥平面AC1D．（Ⅱ）在棱CC1上存在一点P，P为CC1的中点，使直线PB1⊥平面AC1D．下面给出证明：由正三棱柱ABC-A1B1C1．可得CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AD．又AD⊥C1D，∴AD⊥BC．C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1P．ABC是正三角形，∴D为边BC的中点．在正方形BCC1B1中，可得△CC1D≌△C1B1P，CC1D=∠C1B1P．∴CC1D+∠C1PB1＝90°，∴B1P⊥C1D．AD∩DC1=D，∴B1P⊥平面AC1D．
如图所示，在正三棱柱ABC-A 证明：（1）取AB中点F，连接EF、CF三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，侧面AA1B1B是矩形E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，AA1⊥平面ABC，AB？平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥ABEF∩CF=F，∴AB⊥平面CEFCE？平面CEF，∴AB⊥CE；（2）以F点为坐标原点，又FB，FC，FE为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，底面边长和侧棱长都是3，D是侧棱CC1上一点且C1D=2DC，A（？32，0，0），B（32，0，0），C（0，332，0），D（0，332，1）AD=（32，332，1），BC=（？32，<；作业帮用户 2017-10-06 问题解析（1）取AB中点F，连接EF、CF．根据线面垂直的性质证出EF⊥AB，结合正△ABC中，中线CF⊥AB，所以AB⊥平面CEF，从而可得AB⊥CE；（2）以F点为坐标原点，又FB，FC，FE为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出异面直线AD与BC的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．名师点评 本题考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．考点点评：本题给出所有棱长都相等的正三棱柱，证明线线垂直及异面直线的夹角，（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将异面直线的夹角转化为向量的夹角．。
如图所示，在正三棱柱ABC-A （1）证明：已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，取AC中点O、A1C1中点F，连OF、OB，则OB、OC、OF两两垂直，以OB、OC、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系．如图所示．∵AB=2，AA1=3，C1E=2∴A（0，-1，0），B(3，0，0)，E（0，1.
如图所示，在正三棱柱ABC-A （Ⅰ）连接A 1 B与AB 1 交于E，则E为A 1 B的中点，∵D为A 1 C 1 的中点，∴DE为△A 1 BC 1 的中位线，∴BC 1∥DE．又DE？平面AB 1 D，BC 1 ？平面AB 1 D，∴BC 1∥平面AB 1 D（Ⅱ）过D作DF⊥A 1 B 1 于F.
