如图，正三棱柱ABC-A 证明：（1）∵棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱∴CC1⊥平面ABC，又∵AD？平面ABC，∴CC1⊥AD又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．∴AD⊥BC∵BC∩CC1=C，∴AD⊥面BCC1B1．（2）连结A1B，交AB1于E，连接DE，∵D为BC的中点，E是A1.
在正三棱柱ABC-A 如图所示，过B作BF⊥AC，过B1作B1E⊥A1C1，连接EF，过D作DG⊥EF，连接AG，在正三棱柱中，有B1E⊥AA1C1C，BF⊥面AA1C1C，故DG⊥面AA1C1C，∴DAG=α，可求得DG=BF=32，AG=AF2+FG2=52，故tanα=DGAG=155.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中 过A1作A1N⊥B1C1，交B1C1于点N，连接2113MN，故角5261MNA1为平面C1MB与平面A1B1C1的夹角，又在棱4102柱中，平面ABC与平面A1B1C1平行，故此角即为要1653求的二面角，在直角三角形MNA1中，tan∠MNA1=MA1/A1N=1/√3=√3/3，又该角为锐角，所以∠MNA1=30°，即所求二面角=30°
在正三棱柱ABC-A1B1C1中、（要解题过程。不要图、） 1 连结A1C正三棱柱ABC-A1B1C1 AB=AA1知 正方形ACC1A1设A1C与AC1交点OO为A1C中点 D是BC的中点知OD平行A1B OD包含于平面AC1DA1B平行于面AC1D2 D是BC的中点，P是CC1的中点易得 B1P垂直C1DD是BC的中点 正三棱柱ABC-A1B1C1可得AD垂直BC AD垂直平面BCC1B1故B1P垂直AD又因为 AD与C1D交于DAD C1D包含于平面AC1D故 B1P垂直于平面AC1D
如图，在正三棱柱ABC-A 设AC=a，CC1=b，截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则由（a2+14b2）×2=a2+b2，得b2=2a2，又12×32a2=6，a2=8，∴V=34×8×4=83．故答案为：83
在正三棱柱ABC-A 取AC的中点E，连接BE，C1E，正三棱柱ABC-A1B1C1中，∴BE⊥面ACC1A1，BC1E就是BC1与侧面ACC1A1所成的角，BC1＝3，BE=32，sinθ＝12，θ=30°．故答案为30°．
如图，在正三棱柱ABC-A 证明：（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，又AD？平面ABC，所以C1C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以AD⊥BC，因为BC∩C1C=C，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为DC1？平面BCC1B1，所以AD⊥C1D；（6分）（2）连接A1C交AC1于点E，再连接DE．因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点，又因为D为BC的中点，所以ED∥A1B．又A1B？平面ADC1，ED？平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．（14分）
正三棱柱ABC-A 如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．∵所有棱长都为2，∴A(3，0，0)，B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，-1，2）．∴AB1＝(？3，1，2)，BC1＝(.
