在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM.若侧棱 三棱锥S-ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SACASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球2R=23？3，∴R=3，∴S=4πR2=4π？（3）2=36π，故选C．
正三棱锥S─ABC内接于球O，其底面边长是2 画出正三棱锥S─ABC的图形，由题意可知，球心O在正三棱锥的高上，如图，则OS=OA=OB=OC=R，底面边长是23，∴GA=23×32×23=2，侧棱长是4，SG=42？22=23．在三角形OAG中，OA=AG2+OG2，可得R2=（23？R）2+22，解得R=433．球O的体积是：43πR3=43π(433)3=2563π27．故选：D．
在正三棱锥S-ABC中，求证：SA垂直于BC
在正三棱锥S-ABC中，D是AB的中点，SD=1，且SD与BC所成角为45°，则SD与底面所成角的正弦值为？ 在正三棱锥S-ABC中侧面都是全等的等腰三角形，底面是正三角形，顶点在底面的射影是在底面的中心.D是AB的中点，取AC中点E，连接DE，SE所以DE平行于BC且SD与BC所成角为45°，那么SD与DE所成角为45°D，E都是中点，那么在侧面中，SD=SE=1所以三角形SDE是等腰直角三角形所以DE=根号2那么底面三角形的边长就是2根号2了取底面中心是O那么在三角形SOD中，角SDO就是SD与底面所成角又有SD=1，DO=(1/3)*根号6所以SO^2=SD^2-DO^2=1/3SO=(根号3)/3所以SD与底面所成角的正弦值=SO/SD=(根号3)/3
正三棱锥S_ABC中，BC=2，SB=根号3 解：设SQ与DE相交于点P，连结CP，CD，CE，CQ，SQ⊥平面CDESQ⊥CP，SQ⊥DE又在正三角形ABC中，BC=2，Q为AB的中点CQ=√3，CS=√3CSQ为等腰三角形，由SQ⊥CP得，CP为中线，P为SQ的中点.在△SAB中，易知SQ⊥AB，又SQ⊥DE，∴DE‖AB，P为SQ的中点，DE=AB/2=1，SQ=√2在等腰△CSQ中，CQ=CS=√3，SQ=√2，P为SQ的中点CP=(√10)/2在正三棱锥S-ABC中，易证AB⊥平面CSQ，又DE‖AB，DE⊥平面CSQ，DE⊥CP三角形CDE的面积=DE*CP/2=1*(√10/2)/2=(√10)/4.
在正三棱锥s-abc中 ，证SA垂直BC 取BC的中点D，连结AD和AD，△SBC和△ABC都是等腰△，SD⊥BC，AD⊥BC，AD∩SD=D，∴BC⊥平面SAD，SA∈平面SAD，∴SA⊥BC。
在正三棱锥S-ABC中 P是ABC的中心O是外接球球心MQ垂直AC于Q要求的就是AO的长度设ABC边长为XMQ长为S到AC距离的一半，QA长为3X/4，AMQ为直角三角形，所以AM的平方=AQ平方+MQ平方AN长为三分之根号3·X，MN长为根号3，AMN为直角三角形，所以AM的平方=AN平方-MN平方所以AQ平方+MQ平方=AN平方-MN平方代入X和具体数值可以解出XSP长的平方=SA长的平方-X平方/3，可以算出SP的长度OA平方-（SP-OA）平方=AP平方，可以算出OA长外接球的面积=4π·OA
正三棱锥S-ABC 将三棱锥沿sc展开成平面（三个共顶点三角形），D与D'间的直线距离即为最短周长，此时可以确定EF位置。
三棱锥S-ABC的底是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则求此三棱锥体积最大值。 三棱锥侧面如图，由于ABC等边，易知SBC是等腰三角形SB=SC。设BC=2b，角OCB为q（不会打符号，将就看吧）可得如下结果：SE=b*ctg(q)，三角形SBC面积=b^2*ctg(q)SO=b*ctg(q)-b*。
