勒贝格测度的结构 勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。固定。中的盒子是形如的集合，其中。这个盒子的体积定义为对于任何R的子集A，我们可以定义它的外测度λ(A)：是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了 然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合，都有：这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。勒贝格测度定义为λ(A)=λ(A)对于任何勒贝格可测的集合A。根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集。
实变函数中的问题，证明：零测度集上的勒贝格积分等于零，要详细证明过程 由定义依次得1.非负简单可测函数在零测度集上的积分为零2.非负可测函数在零测度集上的积分为零3.一般可测函数在零测度集上的积分为零
勒贝格测度的关系 在所定义的集合上，博雷尔测度与勒贝格测度是一致的；然而，仍然有更多勒贝格可测的集合不是博雷尔可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的R是一个局部紧群）。豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量R的维数比n低的子集是很有用的，例如R内的曲线或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数的概念混淆。可以证明，在无穷维空间不存在勒贝格测度的类似物。
勒贝格测度的例子 如果A是一个区间[a，b]，那么其勒贝格测度是区间长度b？a。开区间(a，b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。如果A是区间[a，b]和[c，d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积(b？a)(d？c)。康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。
勒贝格测度当中的测度非常小的集合和零测集有什么本质的差别？ 这个问题有点难以回答，因为勒贝格测度为零并没有很多充分必要条件。可以考虑分形几何中的哈斯多夫(Hausd…
