如图所示，已知正三棱柱ABC-A 证明：如图所示，连结A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连结AN、DN，则DN∥A1B．又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN．又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC．又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C=BC，AN？平面A.
如图，已知正三棱柱ABC-A 证明：（Ⅰ）如图所示：取AB的中点F，连接EF、CF、ED．又∵BE=EA1，∴EF∥.12AA1．由已知得CD∥.12AA1，∴CD∥.EF．四边形EFCD为平行四边形，ED∥FC．又∵ED？平面ABC，CF？平面ABC．ED∥平面ABC．（Ⅱ）由正三棱柱ABC-A1B1C1，可得A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥CF．由F是正△ABC的边AB的中点，∴CF⊥AB．又A1A∩AB=A，∴CF⊥侧面ABB1A1，ED∥FC，∴DE⊥侧面ABB1A1．DE⊥AE．在等腰△ABA1中，由AB=AA1，BE=EA1．AE⊥A1B．又∵A1B∩DE=E．AE⊥平面A1BD．AE⊥BD．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：DE⊥侧面ABB1A1，且DE＝CF＝3a．V三棱锥D？ABA1=13×S△ABA1×DE=13×12(2a)2×3a=23a33．
如图，已知正三棱柱ABC-A 如图，连接B1D易证B1D⊥平面AC1，过A点作AG⊥CD，则由B1D⊥平面AC1，得AG⊥B1D由线面垂直的判定定理得AG⊥平面B1DC，于是∠ADG即为直线AD与平面B1DC所成角，由已知，不妨令棱长为2，则可得AD=5=CD，由等面积法算得AG=AC×AA 1CD=455所以直线AD与面DCB1的正弦值为45；故答案为45．
如图，已知正三棱柱ABC-A （1）取BC的中点为O，连接OD，由正三棱柱的结构特征得OA⊥平面BCC1B1，且OA=3．所以∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C所成的角，即∠ADO=45°．所以OD=3．所以侧棱的长为22．如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，3)，B（-1，0，0），C（1，0，0），D(1，2，0)设n＝(x，y，z)是平面ABD的一个法向量，则由 作业帮用户 2017-10-23 问题解析（1）由几何体的结构特征与题中条件求出侧棱的长度，进而建立坐标系分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出二面角的平面角．（2）由（1）得平面ABD的法向量n，再求出平面的一条斜线所在的向量CA，求出CA在法向量上的射影即可得到答案．名师点评 本题考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．考点点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系进而利用空间向量解决空间中的空间角与空间距离问题．扫描下载二维码 ？2020 作业帮？联系方式：service@zuoyebang.com？ 作业帮协议
如图，已知正三棱柱ABC-A 三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，ABC是等边三角形，且四边形BCB1C1是平行四边形BC∥B1C1，可得∠ACB（或其补角）就是异面直线AC与B1C1所成的角等边△ABC中，∠ACB=60°异面直线AC与B1C1所成的角等于60°故答案为：60°
如图，已知正三棱柱ABC-A （1）∵正方形BB1C1C中，D为CC1中点，E为BC的中点Rt△BB1E≌Rt△CBD，可得∠CBD=∠BB1E=90°-∠BEB1因此∠BEB1+∠CBD=90°，可得B1E⊥BD平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，正三角形ABC中，AE⊥BCAE⊥平面BB1C1C，结合BD？平面BB1C1C，得AE⊥BDAE、B1E是平面AB1E内的相交直线，∴BD⊥平面AB1E；（2）∵AE⊥平面BB1C1C，BE是AB1在平面BB1C1C内的射影，可得∠AB1E是直线AB1与平面BB1C1C所成角正△ABC中，AE=32AB=3，正方形AA1B1B中，对角线AB1=2AB=22Rt△AB1E中，sin∠AB1E=AEAB1=64即直线AB1与平面BB1C1C所成角的正弦值等于64；（3）由前面的计算，可得S△BCD=14S BB1 作业帮用户 2017-10-11 举报
如图，已知正三棱柱ABC-A 证明：（Ⅰ）∵D、E分别是AC、A1C1的中点∴AD∥C1E，AD=C1E则四边形ADC1E为平行四边形∴AE∥C1D而AE？平面BDC1，C1D？平面BDC1，∴直线AE∥平面BDC1；（Ⅱ）设侧棱长为1，则底面边长为2，根据题意可知A1D=C1D=2，A1C.
