如图，在正三棱柱ABC-A 设AC=a，CC1=b，截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则由（a2+14b2）×2=a2+b2，得b2=2a2，又12×32a2=6，a2=8，∴V=34×8×4=83．故答案为：83
在正三棱柱ABC-A1B1C1中
如图，正三棱柱ABC-A 证明：（1）取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连接B1D1、EF、D1F．则有D1F∥.12AA1，B1E∥.12AA1．D1F∥.B1E．则四边形D1FEB1是平行四边形，EF∥.B1D1．由于三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，B1D1⊥A1C1．又∵平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1？平面A1B1C1，B1D1⊥平面ACC1A1，∴EF⊥平面ACC1A1．EF？平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面ACC1A1．（2）由（1）知，EF⊥平面AC1，则EF是三棱锥E-ACC1的高．由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=52a，AC1=2a．EF=AE2？AF2=32a．V_C1？AEC=V_E？ACC1，设三棱锥V_C1？AEC的高为h，则h为点C1到平面AEC的距离．则
如图，正三棱柱ABC-A （1）证明：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，有CC1⊥底面ABC，AM？面ABC，∴CC1⊥AM，…（1分）又∵△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥MC1且AM=MC1∵CC1∩C1M=C1，∴AM⊥面CC1M，…（2分）∵BC？面CC1M，∴.
如图，正三棱柱ABC-A 当点M是线段AC中点时，BM∥平面AEF．下面给出证明：取AE中点N，连接NF、MN．则MN∥.12EC∥.FB，MNFB是平行四边形，则BM∥NF，又∵NF？AEF，BM？平面AEF，BM∥平面AEF．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1，点E、F分别是棱ACC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB，当点M在何位 解：当点M是线段AC中点时，BM∥平面AEF．下面给出证明：取AE中点N，连接NF、MN．则MN∥.12EC∥.FB，MNFB是平行四边形，则BM∥NF，又∵NF？AEF，BM？平面AEF，BM∥平面AEF．
（2014？盐城一模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．（1）求证：BF∥平面A1EC； 证明：（1）连接A1C与AC1交于点O，连接OF，F为AC的中点，OF∥C1C且OF=12C1C，E为BB1的中点，BE∥C1C且BE=12C1C，BE∥OF且BE=OF，四边形BEOF是平行四边形，BF∥OE，BF？平面A1EC，OE？平面A1EC，BF∥平面A1EC（2）∵AB=CB，F为AC的中点，BF⊥AC由（1）知BF∥OE，OE⊥AC，AA1⊥底面ABC，BF？底面ABC，AA1⊥BF，BF∥OE，OE⊥AA1，AA1∩AC=A，OE⊥平面A1ECOE？面A1EC，平面A1EC⊥平面AA1C1C．
如图正三棱柱ABC-A 证明：（Ⅰ）连接BC1和CB1交于O点，连ON．∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴O为BC1的中点．又N为棱AB中点，∴在△ABC1中，NO∥AC1，又NO？平面NB1C，AC1？平面NB1C，∴AC1∥平面NB1C；（6分）（Ⅱ）建如图所示空间直角坐标.
如图，正三棱柱ABC﹣A （Ⅰ）证明：∵ABC﹣A 1 B 1 C 1 是正三棱柱，AA 1⊥平面ABC，BE⊥AA 1．ABC是正三角形，E是AC中点，BE⊥AC，BE⊥平面ACC 1 A 1．BE 平面BEC 1平面BEC 1⊥平面ACC 1 A 1．（Ⅱ）证明：连B 1 C，设BC 1∩B 1 C=D．ABC﹣A 1 B 1 C 1 是正三棱柱，BCC 1 B 1 是矩形，D是B 1 C的中点．E是AC的中点，AB 1∥DE．DE 平面BEC 1，AB 1 平面BEC 1，AB 1∥平面BEC 1．（Ⅲ）作CF⊥BC 1 于F，FG⊥BC 1 于G；连CG．平面BEC 1⊥平面ACC 1 A，CF⊥平面BEC 1FG是CG在平面BEC 1 上的射影．根据三垂线定理得，CG⊥BC 1．CGF是二面角E﹣BC 1 ﹣C的平面角．设AB=a，∵．在Rt△ECC 1 中，CF=在Rt△BCC 1 中，CG=．在Rt△CFG中，∵，CGF=45°．二面角E﹣BC 1 ﹣C的大小是45°
如图，正三棱柱ABC-A 证明：（1）∵棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱∴CC1⊥平面ABC，又∵AD？平面ABC，∴CC1⊥AD又∵正三角形ABC中，D是BC的中点．∴AD⊥BC∵BC∩CC1=C，∴AD⊥面BCC1B1．（2）连结A1B，交AB1于E，连接DE，∵D为BC的中点，E是A1.
