如图，圆o是三角形abc的外接圆，ab为直径，角bac的角平分线交圆o与点d，过点d的切线分别交a 向左转|向右转连接OD，因为EF是圆的切线，可知OD⊥EFAOD为等腰三角形，∴2=∠3，AD平分∠CAO，可知∠1=∠2，得出∠1=∠3，内错角相等，可以得出AF∥OD，OD⊥EF，那么AF⊥EF。连接CB，因为AB为直径，∠ACB就等于90°，CB就平行于EF。做BK⊥EF，四边形FCBK就是长方形，∴CF=BK.明显地，△EAF∽△EOD∽△EBK，为了简便，设BE=x，圆半径为R，根据相似三角形比例性质：AF/OD=AF/R=AE/OE=(2R+x)/(R+x)，可知：AF=R*(2R+x)/(R+x)OD/CF=OD/BK=R/CF=(R+x)/x，可知：CF=Rx/(R+x）AF+CF=R*(2R+x)/(R+x)+Rx/(R+x）=2R，即可求证AF+CF=AB。
如图，圆O是三角形ABC的外接圆，BC为直径，AD平分角BAC，交圆O于D，点M是三角形ABC的内心 1、∵BC是直径∴BAC=90°，∵M是内心，即M是三角形ABC的角平分线的交点连接CM∴CM平分∠ACB，那么∠ACM=∠BCM∵AD平分∠BAC∴BAD=∠CAD=1/2∠BAC=1/2×90°=45°连接BD、CD，那么BC是直径，∠BDC=90°∴DBC=∠CAD=4.
如图，圆O是三角形ABC的外接圆，BC为直径，AD平分角BAC，交圆O于D，点M是三角形ABC的内 如图，圆O是三角形ABC的外接圆，BC为直径，AD平分角BAC，交圆O于D，点M是三角形ABC。
如图 圆o是△abc的外接圆 bc为直径，ad平分角bac，交圆o于d，点m是△abc的内心 ①BC=√2DM.BMD=∠BAM+∠ABM1/2(∠BAC+∠ABC)MBD=∠MBC+∠DBC1/2∠ABC+∠DAC1/2(∠ABC+∠BAC)，MBD=∠BMD，BD=MD，连接CD，BC中直径，BDC=90°，又BD=CD
如图，圆o是三角形ABC的外接圆，AB为直径，角BAC的平分线交圆o与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线于点EF.(1)求证：AF丄EF；(2)AF十CF=AB。 延长BD交AF的延长线于H，连接CD∵AB是⊙O的直径∴ADB=90°=∠ADH∵AD平分∠BAC∴BAD=∠CAD 又∵AD=AD∴△ABD≌△AHD（ASA）∴AB=AH，DB=DH∵BAD=∠CAD∴DB=DC（等角对等弦。
如图 圆o是三角形abc的外接圆 ab为直径，角bac的角平分线交圆o与点d，过点d的切线分别交a 连接oD两点 由题可知 边oa=od 所以三角形oad为等腰三角形角oad=角oda又因为ad为角fae的角等分线所以角fad=角oad=角oda即角fad=角oda因为od垂直于FE（d为外切线的切点）所以角oda+角fda=90度由题可知 角fda+角fad=90度三角形afd中 角afd=180度-角fda-角fad=90所以af垂直于ef 问题1证明完毕！
