设总体X服从Γ分布，其概率密度函数为 其中α＞0，β＞0．如果样本观测值为x1，x2，…，xn， 先求E(X)，E(X2)，其中要用到Γ函数的定义 ；nbsp；nbsp；nbsp；
设总体为指数分布，已知概率密度函数求参数的矩估计和极大似然估计的解题步骤 设X~EXP(入)E(X)=1/入入=1/(xbar)L(入|x)=π(连乘符号)(i=1~n)入e^(-入xi)两边取对数，并使ln(L)=ll(入|x)=ln(入^n)+(-入)Σ(xi)求导l'(入|x)=n/入-n(xbar)让导数=00=1/^入-(xbar)1/^入=xbar入=1/(xbar)再检验l二阶导为负数，所以l有最大值，最大拟然估计为1/(xbar)，同矩形估计
联合密度函数 X的边缘密度函数的定义域为整个实数集，即 f（x，y）=fX(x)fY|X（y|x）这个表达式对R*R成立，对于x或>；=2时，fX（x）=0那么一定有 f（x，y）=0.
设总体X服从参数为2的指数分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则当n→∞时Yn=1nni＝1X2i依 λ的矩估计值和极2113大似然估计值均5261为：1/X-（X-表示均值）。详细4102求解过程如下图：指数分1653布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基新条目出现的时间间隔等等。指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。扩展资料：根据对应概率密度函数计算出似然函数F(x)；对似然函数F(x)取对数以方便求解（由于对数函数是单调增函数，所以对似然函数取log后，与L(x)有相同的最大值点）；根据参数，对第二步所得的函数求导，如果有多个参数，则分别求偏导；令导数等于0（此时F(x)取到最大值），求出参数，此时所得结果即为参数的最大似然估计值。因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后，仍然如同新的产品一样，不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同。显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能。
设总体X服从区间（0，θ）上的均匀分布，其中θ＞0为未知参数．（X （1）记x（1）=min（x1，x2，…，xn），x（2）=max（x1，x2，…，xn）由题意知，总体X的概率函数为 f(x)＝1θ，0≤x≤θ0，其它由于0≤x1，x2，…，x2≤θ，等价于0≤x（1）≤x（2）≤θ．则似然函数为L(θ)＝nπi＝1f(xi)＝1θn，0≤x（1）≤x（2）≤θ．于是对于满足条件x（2）≤θ的任意θ有L(θ)＝1θn≤1xn(2)即L（θ）在θ=x（2）时取到最大值1xn(2)，故θ的最大似然估计值为θ＝x(2)＝max1≤i≤n(xi)θ最大似然估计量为 θ＝x(2)＝max1≤i≤n(xi)（2）X的密度函数为f(x)＝1θ，0≤x≤θ0，其它则分布函数为F(x)＝0，x≤θxθ，0θ1，x≥θ因此θ＝x(2)＝max1≤i≤n(xi)概率密度函数为fθ(x)＝n[F(x)]n？1f(x)=nxn？1θ，0θ0，其它（3）由于E(θ)＝∫+∞？∞xfθ(x)dx=∫θ0nxnθdx＝nn+1θ≠0故θ不是θ的无偏估计．
设总体X服从指数分布，概率密度为 (1)f(x)=1/θe^(-x/θ)F(x)=∫(1，0)f(x)dθ=1-e^(-x/θ) Fmin(xi)=1-(1-F(x))^n=1-e^(-nx/θ) fmin(x)=n/θe^(-nx/θ)0 所以fmin(x)仍然服从指数分布 。
