已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足：f（xy）=xf（y）+yf（x）．（Ⅰ） （Ⅰ）f（x）是奇函数，令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0．令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）．故函数f（x）是奇函数，（Ⅱ）证明：令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，f（xy）=xf（y）+yf（x），x≠0时，f（x？1x）=xf（1x）+1xf（x）=0f（1x）=-1x2f（x），x，y∈R且y≠0，f（xy）=f（x？1y）=xf（1y）+1yf（x）=-xy2f（y）+1yf（x）=yf(x)？xf(y)y2；x，y∈R且y≠0：f（xy）=yf(x)？xf(y)y2；（Ⅲ）∵a1=f（2）=2 且f（xy）=xf（y）+yf（x）．令x=2，y=2n-1，f（2n）=f（2？2n-1）=2f（2n-1）+2n-1f（2）=2f（2n-1）+2n，即an=2an-1+2n（n≥2），an2n＝an？12n？1+1，{an2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，an2n=1+（n-1），即an=n？2n．
已知函数fx的 定义域为R，对于任意a，b∈都有f（a+b）=fa+fb，且当x＞0时，fx＜0，f1=-2，
已知函数f(x)为定义在R上不恒为零的偶函数，且对于定义域上任意的x，恒有xf(x+1)=(1+x)f(x)成立，求f(f(2.5）的值 令x=-0.5x+1=0.5则-0.5f(0.5)=0.5f(-0.5)偶函数则f(0.5)=f(-0.5)所以f(0.5)=0令x=0.5则0.5f(1.5)=1.5f(0.5)所以f(1.5)=0同理令x=1.5则f(2.5)=0令x=-1f(0)=0*f(-1)=0f(0)=0所以f[f(2.5)]f(0)0
已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f （1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即-（x+1）2+a（x+1）＞2（-2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，（x-1）a，x∈[3，+∞）a(x？1)2？2x？1=（x-1）？2x？1，令x-1=t，则t∈[2，+∞），g（x）=t？2t在[2，+∞）上单调递增，g（t）min=g（2）=1，a（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m？2x-1，当x∈[n，n+1]时，f（x）=mf（x-1）=m2f（x-2）=…=mnf（x-n）=mn？2x-n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=mn？2x-n，n∈N*，f（x）在[0，+∞）上单调递增，m＞0且mn？2n-n＞mn-1？2n-（n-1），即m≥2．（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）=mf（x-4）=…=mnf（x-4n）=mn[（x-4n）2-4（x-4n）]，当0≤1时，f（x）∈[-4，0]；当-1时，f（x）∈[-4，-4m]；当m=-1时，f（x）∈[-4，4]；当m＞1时，f（x）∈（-∞，0）；当m时，f（x）∈（-∞，+∞）；综上可知：-1≤m或0≤1．问题（Ⅱ）：由已知，有f（x+T）=T？f（x）对一切实数x恒成立，即cosk（x+T）=Tcoskx对一切实数恒成立，当k=0时，T=1；当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，又∵cos（kx+kT）∈[-1。
