群G的阶是2n（n为奇数），证明G有指数为2的正规子群 只要说明G有n阶子群.首先G有二阶元，G同构于2n元置换群的子群，G的二阶元在同构下为n个两两不交的对换乘积，为奇置换，故G在同构下的像一半奇置换一半偶置换，所有偶置换构成n阶子群
证明，指数是2的子群一定是不变子群。 设G是一个群，H是G的一个指数=2的子群.对任意x∈G，若x∈H，显然有xH=Hx.若x∈G\\H，则G=H∪Hx，即G分解成H的两个右陪集之并.因此Hx=G-H.同理G有左陪集分解 G=H∪xH，于是得出xH=G。
指数为2的子群必为正规子群 只要证明Ha＝aH即可，其中a不属于H，因为H在G中的指数为2，所以Ha，aH都是G的不同于H的子群72所以必有Ha＝aH成立lp证毕
证明，指数为2的子群是正规子群 指数为2的子群是正规子群的证明如下： 设H，[G：H]=2，对G中任意元a，有两种情况： 1、若a？H，则aH≠H，Ha≠H，故G有陪集分解G=H∪Ha=H∪aH，所以Ha=aH=G-H。。
任一群中，指数为2的子群一定是正规的 设H是G的二阶子群，由指数为2可知对a不属于H，必有G=H并aH=H并Ha，那么aH=Ha，因此H正规
N是G的正规子群，H是G的子群，H关于G的指数与N的阶互素，证明N是H的正规子群 设H是G的n阶子群，任取G中一个元素g，如下集合H(g)={ghg^(-1)|h属于H}现在证明H(g)是G的子群.任取gh1g^-1，gh2g^-1属于H(g)则，gh1g^-1*(gh2g^-1)^-1=g(h1h2^-1)g^-1因为h1h2^-1属于H，所以g(h1h2^-1)g^-1属于H(g)所以H(g)是G的子群.且由消去律知道gh1g^-1=gh2g^-1可以推出h1=h2所以|H(g)|=n 又因为H是G中唯一的n阶子群，所以H(g)=H即任取g属于G 任取h属于H 有 ghg^-1属于H 所以H是G的正规子群容易验证gH和Hg都是G的n阶子群，但是G得n阶子群只有一个所以有gH=Hg=H，所以H是G的正规子群
指数为2的子群必为正规子群
