如图，在正三棱柱ABC-A （1）证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，F、F1分别是AC、A1C1的中点，B1F1∥BF，AF1∥C1F，又∵B1F1∩AF1，BF∩C1F平面AB1F1∥平面C1BF；（2）∵F1是A1C1的中点．A1B1C1是等边三角形，B1F1⊥A1C1，面A1B1C1，又AA1⊥平面A1B1C1，又B1F1？平面A1B1C1AA1⊥B1F1，B1F1⊥平面ACC1A1．平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
如图，在正三棱柱ABC-A 证明：（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，又AD？平面ABC，所以C1C⊥AD，又点D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以AD⊥BC，因为BC∩C1C=C，所以AD⊥平面BCC1B1，又因为DC1？平面BCC1B1，所以AD⊥C1D；（6分）（2）连接A1C交AC1于点E，再连接DE．因为四边形A1ACC1为矩形，所以E为A1C的中点，又因为D为BC的中点，所以ED∥A1B．又A1B？平面ADC1，ED？平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．（14分）
如图所示，在正三棱柱ABC-A （I）∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是平行四边形A1B1∥AB又∵A1B1？平面ABD，AB？平面ABD，A1B1∥平面ABD；（II）取AB中点F，连接EF、CF三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，侧面AA1B1B是矩形E、F分别是A1B1、AB的中点，∴EF∥AA1，AA1⊥平面ABC，AB？平面ABC，∴AA1⊥AB，可得EF⊥AB，正△ABC中，CF是中线，∴CF⊥ABEF∩CF=F，∴AB⊥平面CEFCE？平面CEF，∴AB⊥CE；（III）∵正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都为2三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=34×22×2=23又∵三棱锥E-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1同底等高三棱锥E-ABC的体积VE-ABC=13VABC-A1B1C1=233因此三棱锥C-ABE的体积VC-ABE=VE-ABC=233．
